3.2. Графики основных элементарных функций

1. Линейная функция – это функция вида:

y = kx + b.

Данная функция определена на всей числовой прямой. Если k 0, то ее множеством значений является вся числовая ось, если k=0, то множество значений функции состоит из одного числа b.

Г рафиком линейной функции, является прямая (рис. 3.1),

Рис. 3.1

проходящая через точку с координатами (0, b), с угловым коэффициентом k. Угловой коэффициент k равен тангенсу угла между данной прямой и положительным направлением оси абсцисс.

График этой функции строят по двум точкам, как правило, точкам пересечения с осями:

x	0	– b/k
y	b	0

Е

y

b

сли y = b, то график имеет вид (рис. 3.2).

Рис. 3.2

2. Квадратичная функция – это функция вида:

y = ax² + bx + c (a ¹ 0).

Данная функция определена на всей числовой оси. Графиком квадратичной функции является парабола (cм. таблицу).

Координаты вершины параболы (x_b, y_b) определяют по формулам:

; y_b = y(x_b) = a + b + c.

Варианты графика квадратичной функции

D > 0		D = 0		D < 0
a > 0
a < 0

3. Функция y = |x|.

Для построения графика раскрывают модуль:

Данная функция определена на всей числовой оси. Функция

y = |x| является четной, следовательно, график ее симметричен относительно оси ординат.

_{График этой функции изображен на рисунке 3.3.}

Рис. 3.3

4. Степенная функция – это функция вида:

y = x^р .

Область определения и график данной функции зависят от показателя р. Рассмотрим несколько случаев:

1) y = x²ⁿ, где n Î N.

Область допустимых значений - вся числовая ось (х  R). Множество значений: . Функция y = x²ⁿ является четной, следовательно, график ее симметричен относительно оси ординат. График этой функции изображен на рисунке 3.4.

Рис. 3.4

2) y = x^{2n + 1}, где n  N,

Область допустимых значений - вся числовая ось (х  R). Множество значений – вся числовая ось. Функция y = x²ⁿ⁺¹ является нечетной, следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. График этой функции изображен на рисунке 3.5

Рис. 3.5

3) y = , где n  N,

Область допустимых значений - x ³ 0. Множество значений: . График этой функции изображен на рисунке 3.6.

Рис. 3.6

4) y = , где n  N,

Область допустимых значений - вся числовая ось (х  R). Множество значений – вся числовая ось. Функция y = , является нечетной, следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. График этой функции изображен на рисунке 3.7.

Рис. 3.7

5. Дробно-линейная функция задается формулой:

,

где a, b , c и d некоторые действительные числа

( ).

Область определения функции: .

Преобразуем формулу следующим образом:

График дробно-линейной функции получается параллельным переносом на вектор из графика функции , где .

Прямая - является горизонтальной асимптотой графика дробно- линейной функции. Прямая - является вертикальной асимптотой.

График функции называется гиперболой и изображен на рисунке 3.8

рис. 3. 8

6.Обратная пропорциональность:

1) y = , где n  N, область определения: x  0, множество значений: , функция является четной, значит, график ее симметричен относительно оси ординат. График функции показан на рис. 3.9;		2) y = , где n  N, область определения: x  0, множество значений: , функция является нечетной, значит, график ее симметричен относительно начала координат, график функции показан на рис. 3.10.
Рис. 3.9		Рис. 3.10

6. Показательная функция – это функция вида

y = a^x (a > 0, a ¹ 0).

Область определения данной функции вся числовая ось, множество значений: { }.

График показательной функции имеет вид:

1) при a > 1 – (рис. 3.11); 2) при 0 < a < 1 – (рис. 3.12).

Рис. 3.11

Рис. 3.12

7. Логарифмическая функция – это функция вида

y = log_a x (a > 0, a ¹ 1).

Область определения функции: { x > 0}, множество значений - вся числовая ось.

График логарифмической функции имеет вид:

a) при a > 1 – (рис. 3.13); б) при 0 < a < 1 – (рис. 3.14).

Рис. 3.13	Рис. 3.14

8. Тригонометрические функции.

1) y = sin x.

Область определения данной функции вся числовая ось, множество значений: y  [–1, 1].

Функция является периодической с периодом T = 2, т.к.:

sin (x + 2) = sin x.

Функция нечетная, т. к. sin (–x) = – sin x.

Значит, график ее симметричен относительно начала координат.

Некоторые значения функции y = sin x приведены ниже:

x, рад.	0	/6	/4	/3	/2		3/2	2
sin x	0	1/2	/2	/2	1	0	–1	0

График функции y = sin x изображен на рис. 3.15.

Рис. 3.15

2) y = cos x.

Область определения данной функции вся числовая ось, множество значений функции: y  [–1, 1].

Функция является периодической с периодом T = 2, т.к.:

cos (x + 2) = cos x.

Функция четная, т. к. cos (–x) = cos x.

Значит, график ее симметричен относительно оси OY.

Некоторые значения функции y = cos x приведены ниже:

x, рад.	0	/6	/4	/3	/2		3/2	2
cos x	1	/2	/2	1/2	0	–1	0	1

График функции y = cos x показан на рис. 3.16.

Рис. 3.16

3) y = tg x.

Область определения данной функции – {x x  + k, k  Z}; множество значений - вся числовая ось.

Функция является периодической с периодом T = , т.к.

tg (x + ) = tg x.

Функция нечетная, т.к. tg (-x) =- tg x.

Значит, график ее симметричен относительно начала координат.

Некоторые значения функции y = tg x приведены ниже:

x, рад.	0	/6	/4	/3	
tg x	0	/3	1		0

График функции y = tg x показан на рис. 3.17.

Рис. 3.17

4) y = ctg x.

Область определения данной функции – {x x  k, k  Z}; множество значений - вся числовая ось.

Функция является периодической с периодом T = , т. к.

ctg (x + ) = ctg x.

Функция нечетная, т.к. ctg (-x) = –ctg x..

Значит, график ее симметричен относительно начала координат.

Некоторые значения функции y = ctg x приведены ниже:

x, рад.	/6	/4	/3	/2	3/2
ctg x		1	/3	0	0

График функции y = ctg x показан на рис. 3.18.

Рис. 3.18

9. Обратные тригонометрические функции.

1) y = arcsin x – функция, обратная к функции x = sin y.

Область определения данной функции: x  [–1, 1]; множество

значений функции y   .

Функция нечетная, так как arcsin (–x) = – arcsin x.

Значит, график симметричен относительно начала координат. График функции y = arcsin x показан на рис. 3.19.

Рис. 3.19

2) y = arccos x – функция, обратная к функции x = cos y.

Область определения данной функции: x  [–1, 1]; множество

значений функции y  [0, ]..

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

arccos (–x) =  – arccos x.

График функции y = arccos x изображен на рис. 3.20.

Рис. 3.20

3) y = arctg x – функция, обратная к функции x = tg y.

Область определения вся числовая ось; множество значений функции y   .

Функция нечетная, так как arctg (–x) = – arctg x.

Значит, график ее симметричен относительно начала координат. График функции y = arctg x изображен на рис. 3.21.

Рис. 3.21

4) y = arcctg x – функция, обратная к функции x = сtg y.

Область определения вся числовая ось, множество значений функции y  (0, ).

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:

arcсtg (–x) =  – arсctg x.

График функции изображен на рис. 3.22.

Рис. 3.22