Критерий возрастания и убывания функций
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда для того, чтобы функция f(x) была возрастающей на этом отрезке и необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
f (x) > 0 для любого .
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда для того, чтобы функция f(x) была убывающей на этом отрезке и необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
f (x) < 0 для любого .
Если монотонная на интервале (a, b) функция дифференцируема на этом интервале, то ее производная не меняет знака на интервале (a, b) .
Экстремумы функции
Если существует такая двусторонняя окрестность точки х0, что для любой точки х х0 из этой окрестности верно:
a) f(x) > f(x0),
тогда x0 – точка локального минимума функции (рис. 4.3);
Рис. 4.3
б) f(x) < f(x0),
тогда х0 – точка локального максимума функции (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Точки локального минимума и локального максимума функции называют точками локального экстремума.
Необходимое условие экстремума
Функция f(x) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная равна нулю (f (x0) = 0) или не существует.
Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называются стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная равна нулю, или не существует, называются критическими точками функции.
Необходимое условие не является достаточным, т. е. из того, что производная некоторой функции в данной точке обращается в ноль (или не существует) еще не следует, что эта точка обязательно будет точкой экстремума.
Например, рассмотрим
функцию
.
Производная этой функции
обращается в ноль в точке
.
Но функция
не
имеет экстремума в точке
.
Или функция
,
для которой производная
в точке
не существует, не имеет экстремума в
точке
.
Достаточное условие экстремума
1. Первый достаточный признак экстремума.
Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности (х0 – , x0 + ) критической точки х0 , дифференцируема в ее проколотой окрестности, тогда:
а) если
то
х0 – точка максимума функции
(рис. 4.5);
Рис. 4.5
б) если
то
х0 – точка минимума функции
(рис. 4.6).
Р
ис.
4.6
2. Второй достаточный признак экстремума.
Пусть
в точке
функция имеет первую и вторую производную.
Точка
есть точка экстремума функции
,
если
,
а
,
причем
если
,
то
-
точка локального минимума
,
то
-
точка локального максимума.
Точки перегиба и выпуклость графика функции
График функции y = f(x) выпукл вниз на интервале (а, b), если на этом интервале дуга кривой расположена выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала; выпукл вверх на интервале (а, b), если дуга кривой на этом интервале расположена ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Достаточные условия выпуклости.
Пусть функция имеет первую и вторую производную на интервале (а, b). Тогда:
– если f (x) < 0 для любого , то график функции выпукл вверх;
– если f (x) > 0 для любого , то график функции выпукл вниз.
Точки перегиба.
Точка х0, в которой изменяется направление выпуклости графика функции, называется точкой перегиба (рис. 4.7).
Рис. 4. 7
Необходимое условие точки перегиба
Точка может быть точкой перегиба графика функции , если в этой точке вторая производная равна нулю или не существует.
Достаточный признак точки перегиба
1. Первый достаточный признак точки перегиба
Пусть функция непрерывна в точке и имеет вторую производную в некоторой окрестности этой точки . Если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка является точкой перегиба.
2.Второй достаточный признак точки перегиба
Пусть функция
непрерывна в точке
и имеет вторую производную в некоторой
окрестности этой точки
.
Если
,
а
, то точка
является точкой перегиба.