Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки a имеет производные до n-го порядка включительно, тогда справедлива формула Тейлора:
,
– остаточный член
в форме Лагранжа;
ξ = a
+ (x
– a), 0 <
< 1.
В частности, при а = 0 получаем формулу Маклорена:
,
где ξ = x, 0 < < 1.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки a имеет производные до n-го порядка включительно, тогда справедлива формула Тейлора:
,
(
)
называется
остаточным членом в форме Пеано.
Разложение основных элементарных по формуле Маклорена
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
В частности:
.
Пример 4.12. Разложить многочлен 3x4 – x3 + 8x2 + x – 1 по формуле Тейлора в точке х0 = 2.
Решение
Запишем формулу Тейлора:
f(x) f(x0) +
+
+...+
+
Rn,
где Rn – остаточный член.
Найдем производные функции.
f (x) = 12x3 – 3x2 + 16x + 1;
f (x) = 36x2 – 6x + 16;
f (x) = 72x – 6;
f (IV)(x) = 72;
f (V)(x) = 0;
f (n)(x) = 0 при n 5.
Найдем значения функции и производных в точке x0 = 2.
f(x0) = f(2) = 3 24 – 23 + 8 22 + 2 – 1 = 48 – 8 + 32 + 1 = 73;
f (x0) = f (2) = 12 23 – 3 22 + 16 2 + 1 = 12 8 – 3 4 + 32 + +1= 96 – 12 + 33 = 117;
f (x0) = f (2) = 36 4 – 6 2 + 16 = 144 – 12 + 16 = 148;
f (x0) = f (2) = 72 2 – 6 = 144 – 6 = 138;
f (IV)(x0) = f (IV)(2) = 72.
Тогда
f(x)
= 3x4
– x3
+ 8x2
+ x –
1 = 73 + 117(x –
2) +
(x
– 2)2
+ +
(x
– 2)3
+
(x
– 2)4= 73
+ 117(x –
2) + 74(x –
2)2
+ 23(x –
2)3
+
+ 3(x –
2)4.
Пример 4.13. Вычислить пределы:
1) 
2) 
3) 
двумя способами – по формуле Тейлора и по правилу Лопиталя.
Решение
Вычислим предел по правилу Лопиталя.
=
=
.
Заметим, что второй предел в данном произведении равен 1.
В первом пределе получили неопределенность вида . Тогда по правилу Лопиталя:
Вычислим предел по формуле Тейлора
Разложим f(x)=arcsin x и g(x)=arctg x до членов третьего порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
.
Найдем значение функции f(x)=arcsin x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.
Тогда
.
Найдем значение функции g(x)=arctg x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.
Тогда
.
В итоге получаем
2)
.
Вычислим предел по правилу Лопиталя
Вычислим предел по формуле Тейлора
Разложим функции
f(x)=
и g(x)=
до членов третьего порядка по формуле
Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано:
.
Найдем значение функции f(x)= в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.
Тогда
Найдем значение функции g(x)=sin x в точке , а также первые три производные этой функции в нуле.
Тогда
3)
Вычислим предел по правилу Лопиталя
Вычислим предел по формуле Тейлора
Разложим функции f(x)=cos5x и g(x)=ln(1 – 4x) до членов четвертого порядка по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
Тогда при
имеем:
Тогда при
имеем:
В итоге получаем:
4.6. Исследование функций одного переменного с помощью производной. Возрастание и убывание функций
Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых точек x1 и х2, принадлежащих данному интервалу, из условия х1 < x2, следует неравенство f(x1) < f(x2).
Функция y = f(x)
называется неубывающей на некотором
интервале, если для любых точек x1
и х2, принадлежащих данному
интервалу, из условия х1 < x2,
следует неравенство f(x1) 
f(x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых точек х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, из условия х1 < х2, следует неравенство f(x1) > f(x2).
Функция y = f(x)
называется невозрастающей на
некотором интервале, если для любых
точек х1 и х2,
принадлежащих этому интервалу, из
условия х1 < х2,
следует неравенство f(x1) 
f(x2).
Функция y = f(x) называется монотонной на некотором интервале, если она на этом интервале только возрастающая (неубывающая) или только убывающая (невозрастающая).