4.5. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.
Теорема Ролля
Если функция
непрерывна на отрезке [a, b],
дифференцируема на интервале (a, b) ,
на концах отрезка принимает равные значения, т.е.
,
тогда на интервале
(a, b)
существует по крайней мере одна точка
,
в которой производная данной функции
равна нулю, т. е.
.
Все условия теоремы
Ролля существенны, при нарушении хотя
бы одного из этих условий утверждение
теоремы может оказаться неверным.
Например, непрерывная функция
на концах отрезка [ -1, 1] имеет равные
значения (
)
, а вместе с тем ее производная нигде в
ноль не обращается. В данном случае не
выполнено второе условие теоремы Ролля:
в точке
,
лежащей внутри интервала (-1,1), производная
функции
не существует ( было показано в п. 4.2.).
Точно также теорема может быть не верна,
если нарушено условие непрерывности
функции на
[ a,
b]. Например, функция
имеет равные значения на концах отрезка
[-1, 1]:
,
дифференцируема на интервале (-1,1), но
ее производная во всех точках этого
интервала равна 1, и, следовательно, нет
точки, в которой производная равна нулю.
Здесь нарушено первое условие теоремы,
так как функция не является непрерывной
на отрезке [ -1, 1]
Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в следующем: если функция на некотором интервале удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то на этом интервале найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.
Теорема Лагранжа
Если функция
1) непрерывна на отрезке [a, b],
2) дифференцируема на интервале (a, b) ,
тогда на интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка , такая, что
,
.
Теорема Роля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Следствия из теоремы Лагранжа
1.Если функция
дифференцируема на интервале (a,
b) и
для
всех
,
то
на данном интервале.
2. Если функция непрерывна на отрезке [a, b],
дифференцируема
на интервале (a, b)
и для всех
верно равенство
,
то
,
т .е.
функция - линейная функция.
Формула Коши
Если функции и
1) непрерывны на отрезке [a, b],
2) дифференцируемы
на интервале (a, b)
, причем
во всех точках этого интервала,
тогда на интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка , такая, что
,
.
Правило Лопиталя.
Пусть функции f(x)
и g(x)
дифференцируемы в некоторой проколотой
окрестности точки а, причем
и
в этой окрестности. Если функции f(x)
и g(x)
являются одновременно бесконечно
малыми или бесконечно большими и при
этом существует ( конечный или бесконечный)
Тогда
также существует, причем
Пример 4.11. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
.
Решение
1)
=
0.
2)
=
=
+.
3)
=
=
=
0.
4)
=
=
0.
5)
Второй предел в данном произведении при равен 1,
в
первом же пределе получили снова
неопределенность вида
,
еще раз применим правило Лопиталя:
6)
=
.
7)
.
8)
.
9)
;
Вычислим предел:
.
В данном пределе
имеем неопределенность вида
.
Вычислим предел по правилу Лопиталя:
=
=|
по правилу Лопиталя|=
.
Следовательно,
10)
.