4.4. Производная функции, заданной неявно и параметрически.
Функция, заданная неявно
Неявной функцией переменной называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего и , и не разрешенного относительно . Чтобы перейти к явному заданию функции необходимо разрешить данное уравнение относительно . Такой переход не всегда легок, а иногда и вовсе невозможен.
Пусть дифференцируемая
функция
переменной
задана неявно уравнением
.
Тогда производную
можно найти, дифференцируя тождество
как сложную функцию. При этом необходимо
учитывать, что
-
это функция переменной
.
А затем решить полученное уравнение
относительно
Производная функции, заданной неявно
выражается через переменную
саму функцию
.
Функция, заданная параметрически
Пусть заданы две
функции переменной
:
.
Задание этих функций означает задание функциональной зависимости между переменными и .
Если в некотором
интервале (a,b)
функции
и
дифференцируемы и
,
то на интервале (a,b)
функция
однозначно определена, дифференцируема
и
.
Тогда
и т.д.
Пример
4.7. Найти первую производную
функции
в точке
.
Решение
Данная функция
задано неявно. Продифференцируем
тождество
по переменной x, имея
в виду, что
есть функция от
:
Выразим из получившегося тождества :
.
Найдем значение первой производной в в точке :
Пример
4.8. Найти первую и вторую производные
функции
.
Решение:
Данная функция
задано неявно. Продифференцируем
тождество
по
переменной x, имея в
виду, что
есть функция от
:
.
Выразим из получившегося тождества :
.
Из условия имеем
;
тогда
.
Найдем вторую производную, продифференцировав получившееся равенство по переменной x, имея в виду, что есть функция от :
Выражение
для
было
уже найдено ранее, подставим его в
и получим:
Итак, имеем
;
Пример
4.9. Написать уравнение касательной
и уравнение нормали к линии
в точке
.
Решение
- уравнение
касательной в точке
;
-
уравнение нормали в точке
.
Нам необходимо
написать уравнение касательной в точке
.
Следовательно,
; а
.
Найдем производную,
продифференцировав тождество
по переменной x, имея
в виду, что
есть функция от
:
;
;
.
Разделим получившееся
тождество на ln2 и
подставим вместо
координаты точки М(
;
),
а затем найдем производную функции в
точке М:
.
Напишем уравнение касательной:
.
Напишем уравнение нормали:
.
Итак.
- уравнение касательной в точке М(2.1);
- уравнение нормали
в точке М(2.1).
Пример 4.10. Найти первую и вторую производные функции, заданной параметрически:
1)
; 2)
.
Решение
1)
.
Первую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле: .
Найдем производные
функций
и
по переменной
,
применив формулу для нахождения
производной произведения:
Тогда
.
Вторую производную функции, заданной параметрически, найдем по формуле: .
Продифференцируем
функцию
по переменной
:
.
Тогда
.
Таким образом:
;
.
2) .
Первую производную
функции, заданной параметрически, найдем
по формуле:
.
Найдем производные функций и по переменной , применив для функции правило дифференцирования сложной функции и формулу производной произведения:
Тогда
.
Вторую производную
функции, заданной параметрически, найдем
по формуле:
.
Продифференцируем
функцию
по переменной
:
.
Тогда
.
Таким образом:
;
Пример
4.11. Написать уравнение касательной
и уравнение нормали к кривой
в точке, соответствующей значению
параметра
.
Решение
- уравнение касательной в точке ;
- уравнение нормали в точке
Найдем значение функции при :
.
Следовательно,
Найдем значение функции при :
.
Следовательно,
Вычислим производную функции по формуле .
Для этого найдем производные функций и по переменной :
;
Тогда по формуле
найдем
:
.
Следовательно,
.
Напишем уравнение касательной:
.
Напишем уравнение нормали:
.
Итак.,
- уравнение касательной в точке М(2.1);
- уравнение нормали
в точке М(2.1).