4.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция
дифференцируема на интервале (a,b).
Если функция
дифференцируема в точке
,
то ее производную называют второй
производной или производной второго
порядка функции
в точке
и обозначают
,
то есть
.
Производная n-ого
порядка определяется аналогично через
производную (n-1)
порядка. Пусть функция
имеет на интервале (a,b)
производные
.
Если в точке
существует производная функции
, то эту производную называют производной
n-ого порядка, то есть
.
Множество функций,
определенных на интервале (a,b)
и имеющих в каждой точке этого интервала
непрерывную производную n-ого
порядка обозначается
.
Пусть функции
и
имеют в точке
производные n-ого
порядка, тогда функция
также имеет производную n-ого
порядка, причем
.
Формула Лейбница
Пусть функции
и
имеют в точке
производные n-ого
порядка, тогда функция
также имеют производную n-ого
порядка, причем
где
.
Легко выводятся следующие формулы для производной
n-ого порядка:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
.
Дифференциал n-ого порядка
Пусть функция
дифференцируема на интервале (a,b).
Дифференциалом второго порядка называется
дифференциал от функции
и обозначается
,
т.е.
.
Аналогично определяется дифференциал n-ого порядка:
.
Для вычисления дифференциал n-ого порядка применяется формула:
.
В частности для дифференциала второго порядка:
.
Из предыдущих формул следует, что
;
.
Пример 4.4. Вычислить вторую производную и второй дифференциал функции:
1)
; 2)
.
Решение 1) .
Найдем первую производную, используя правило
дифференцирования сложной функции.
Найдем вторую производную, используя формулы
нахождения производной частного, производной произведения, а
также правило дифференцирования сложной функции.
Найдем второй
дифференциал по формуле:
2) .
Найдем первую производную функции, воспользовавшись предварительным логарифмированием:
Найдем вторую производную, применив формулу производной произведения:
Найдем второй дифференциал по формуле:
Пример 4.5. Найти производную n-ого порядка функции
1)
; 2)
;
3)
.
Решение
1)
.
Заметим, что n-ая
производная от функции
есть
та же самая
функция, т. е
.
Найдем первую
производную функции
:
.
Легко увидеть, что каждая последующая производная будет
получаться
умножением предыдущей функции на
коэффициент
.
Следовательно,
.
2) .
Выделим в данной дроби целую часть:
Найдем первые три производные и выведем закономерность, по
которой получается n-ая производная:
Тогда легко заметить, что
Следовательно,
3)
.
Разложим на множители знаменатель:
.
Разложим дробь на сумму простейших дробей:
.
При
имеем
1=
,
при
имеем
1=
.
Тогда
.
Рассмотрим функцию
и найдем ее n-ую
производную.
;
;
.
Легко заметить, что
.
Тогда
Пример 4.6.Найти десятую производную функции
1)
; 2)
.
Решение
1)
.
Заметим, что третья
производная от функции
равна 0
Тогда для нахождения десятой производной произведения функций
и
воспользуемся формулой Лейбница,
заметив, что все слагаемые в этой формуле, начиная с четвертого
будут равны нулю,
так как
при
.
.
Тогда
Так как
,
а
,
то четная производная от
функции
равна той же самой функции
,
а несчетная
производная от
этой функции равна функции
.
Тогда имеем:
.
2) .
Заметим, что вторая
производная от функции
равна 0
Для нахождения десятой производной произведения функций
и
воспользуемся формулой Лейбница,
заметив, что все слагаемые в этой формуле, начиная с третьего
будут равны нулю,
так как
при
.
.
Тогда
Так как
,
,
то легко заметить,
что
,
а
Тогда имеем:
.