3.11. Типовой вариант контрольной работы

ТЕМА: предел функции, построение эскизов графиков функций.

1. Вычислить пределы:

1)

3)

5) ; 6) .

2. Построить эскизы графиков следующих функций с помощью асимптот:

1)

3. Найти точки разрыва функции , исследовать характер точек разрыва.

4. Дифференциальное исчисление функции одного переменного.

4.1.Производная функции, ее геометрический смысл.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда для любой точки разность обозначается и называется приращением аргумента, соответствующая разность значений функции обозначается и называется приращением функции. Так как , то = .

Производной функции y = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции Δf(x₀, Δx) к соответствующему приращению аргумента Δx, если приращение аргумента стремится к нулю:

Геометрический смысл производной

Рис.4. 1

Рассмотрим график некоторой функции , непрерывной на интервале (a, b) (рис 4.1). Пусть точки , - произвольные точки, лежащие на кривой ( ). Прямая MN называется секущей. Отношение равно угловому коэффициенту прямой, проходящей через точки M и N. Пусть , тогда точка N стремится к точке M. Если существует производная , т.е.существует предел отношения , то секущая MN стремится к прямой, проходящей через точку M с угловым коэффициентом . Предельное положение секущей MN при стремлении N к M называется касательной к графику функции в точке M.

Значение производной функции f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке:

f (x₀) = k = tg .

Тогда

y – f(x₀) = f (x₀)·(x – x₀) –

уравнение касательной к графику функции в точке х₀.

Нормалью к кривой в точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной к кривой в точке .

Тогда

x – x₀ + f (x₀)·(y – f(x₀)) = 0 –

уравнение нормали к графику функции в точке х₀.

Основные правила нахождения производных

Пусть с = const, v = v(x) и u = u(x) – некоторые функции, дифференцируемые в точке . Тогда:

1) (c) = 0; 2) (x) = 1;

3) (u + v) = u + v; 4) (u – v) = u – v;

5) (c u) = c u; 6)

7) (u v) = u v + u v; 8) , v  0;

9) ,     v  0.

Таблица производных основных функций

1)  (х^а) = a x^a–1;

2)  (a^x) = a^x ln a, ; (e^x) = e^x;

3)  ;

4)  (sin x) = cos x;

5)  (cos x) = –sin x;

6)  (tg x) = ;

7)  (ctg x) = ;

8)  (arcsin x) = ;

9)  (arсcos x) = ;

10) (arctg x) = ;

11) (arcctg x) = ;

12) (log_a x) = ;

13) (sh x) = ch x; 14) (ch x) = sh x;

15) (th x) = ; 16) (cth x) = .

Правило дифференцирования сложной функции

Если функции и дифференцируемы соответственно в точках и , где y₀ = f(x₀), то сложная функция z = g(f(x)) дифференцируема в точке , причем

z(x₀) = g (y₀) f (x₀).

Правая и левая производная.

Правой производной функции в точке называется величина

, если указанный предел существует.

Левой производной функции в точке называется величина

, если указанный предел существует.

Для существования производной в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция имела правую и левую производные, и эти производные были равны между собой:

.

Логарифмическая производная

Если функция y = f(x) – дифференцируемая в точке функция и , то логарифмической производной называется

.

Функция вида (u(x)>0), где и основание и показатель изменяются вместе с независимой переменной x, называется степенно-показательной. Простейшим примером такой функции является функция .

Для дифференцирования степенно-показательной функции можно применить формулу

.

Например, найдем производную от функции :

Найти производную функции можно и с помощью следующих свойств логарифмической функции: .

Тогда

.

.

Для функции имеем:

.

Тогда

.

Формулу можно использовать для дифференцирования некоторых сложных функций.

Например, для нахождения производной от произведения

удобно применить логарифмическую производную, что позволит быстрее найти результат. Тогда

)=

Пример 4. 1. Найти производные следующих функций:

1) y = –x⁴+x³+2х²+3x+2 в точке x₀ = – 1;

2) в точке x₀ = 2;

3) y =  в точке х₀ = 1;

4) y = в точке х₀ = 0;

5) ; 6) ;

7)y = 6^xsinx; 8) y = sin^–1(2x)–log₂(2x–3);

9) ; 10) ;

11) y = –log₂⁵(–x+2). 12) y = ;

13) y = ;

14) y = ;

15) y = 16) y = –x^arctg(2x);

17) y =

Решение

а) y = –x⁴+x³+2х²+3x+2 в точке x₀= – 1.

y' = (–x⁴ + x³ + 2х² + 3x + 2)' = (–x⁴)' + (x³)' + 2(х²)' + 3(x)' + 0 = = – 4x³ + 3x² +4х + 3.

Тогда

y'(–1) = –4(–1)³ + 3(–1)² + 4(–1) + 3 = 4 + 3 – 4 + 3 = 6.

б) в точке x₀ = 2.

Преобразуем функцию:

Тогда

y' = .

y'(2)

3) y =  в точке х₀ = 1.

Преобразуем функцию

.

Тогда

y'

y'(1)

4) y = в точке х₀ = 0.

y' =

y'(0) = 8.

5) .

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f(g(x)) = f(g(x))g (x).

y' =

6)

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f(g(x)) = f  (g(x))g (x).

y' =

7) y = 6^xsinx.

Воспользуемся правилом нахождения производной произведения двух функций: (uv) = uv + uv.

y' = (6^x)'sin x + 6^x(sin x)' = 6^xln6 sin x + 6^xcos x.

8) y = sin^–1(2x)–log₂(2x–3).

По правилу нахождения производной сложной функции:

y' = (–1)sin^–22x(sin2x)' – (log₂(2x–3))' = –sin^–22x(cos2x)(2x)' – – (2x–3)' = –2 –

9)

Воспользуемся правилом нахождения производной частного:

=

10) .

Преобразуем функцию

.

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f(g(x))' = f ' (g(x))g' (x).

y'

11) y = –log₂⁵(–x+2).

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f(g(x))' = f ' (g(x))g' (x).

y' = –(log₂⁵(–x + 2))' = –5log₂⁴(–x + 2)(log₂(–x + 2))' =

12) y =

Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции: (f(g(x))' = f ' (g(x))g' (x), а также нечетностью функции и четностью функции .

y' =

13) y =

По правилу дифференцирования сложной функции:

y' =

14) y =

По правилу дифференцирования сложной функции:

y' =

15) y =

По правилу дифференцирования сложной функции:

y' = = = =

16) y = –x^arctg(2x).

y' = –(x^arctg(2x))'.

Данная функция не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся предварительным логарифмированием:

y₁' = y₁(ln y₁)',

где у₁ = x^arctg(2x);

ln у₁ = ln x^arctg(2x) = arctg (2x) ln (x);

(ln у₁)' = (arctg (2x))'ln (x) + arctg (2x)(ln (x))' =

тогда

y' = –y₁(ln y₁)'= –x^arctg(2x)

17) y =

Функция не является ни показательной, ни степенной. Поэтому для нахождения производной этой функции воспользуемся предварительным логарифмированием:

ln y = ln

=

y' = y(ln y)' =

Пример 4.2. Написать уравнение касательной и уравнение нормали к графикам функций 1) y =    в точке с абсциссой х₀ = 0; 2) у =    в точке с абсциссой х₀ = -1.

Решение

1) Пусть y = _, х₀=0.

y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀) - уравнение касательной;

(x – x₀) + f '(x₀)(y – f(x₀)) = 0 - уравнение нормали.

Найдем значение функции в точке х₀=0:

f(x₀) = f(0) = .

Найдем производную функции y = :   

f '(x) =

Тогда значение производной в точке х₀=0:

f '(x₀) = f '(0) .

Запишем уравнение касательной:

y = + (x – 0) .

Запишем уравнение нормали:

(x – 0) + (y + ) = 0;

x – y – = 0 .

Итак, y = – – уравнение касательной к графику функции y =    в точке с абсциссой х₀=0.

Итак, x – y – = 0 –уравнение нормали к графику функции y =    в точке с абсциссой х₀=0.

б) у = , х₀ = -1.

y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀) - уравнение касательной;

(x – x₀) + f '(x₀)(y – f(x₀)) = 0 - уравнение нормали.

Найдем значение функции в точке х₀= -1:

f(x₀) = f(-1) = =

Найдем производную функции у = :

f '(x) = = = = .

Тогда значение производной в точке х₀= -1:

f '(x₀) = f '(-1) = = .

Запишем уравнение касательной:

y =1+2 (x +1) =2x +3.

Запишем уравнение нормали:

(x +1)+2 (y –1) = 0;

x +1 +2y -2= 0.

Итак, y = 2x+3 – уравнение касательной к графику функции у = в точке с абсциссой х₀ = -1.

Итак, x +2y–1 = 0 – уравнение нормали к графику функции у = в точке с абсциссой х₀ = -1.