Содержание.

3. Предел последовательности, предел и непрерывность функции одной переменной. 4

3.1. Функции и основные понятия, связанные с ними. 4

3.2. Графики основных элементарных функций 6

3.3. Преобразование графиков 18

3.4. Сведения из элементарной математики 26

Решение рациональных неравенств методом интервалов 30

3.5. Предел последовательности 33

3.6. Предел функции 38

3.7. Непрерывность функций 55

3.8. Асимптоты графиков функций 61

3.9. Домашнее задание 75

3.10. Вопросы для самопроверки 4

3.11. Типовой вариант контрольной работы 7

4. Дифференциальное исчисление функции одного переменного. 7

4.1.Производная функции, ее геометрический смысл. 7

4.2. Дифференциал функции. Дифференцируемость функции. 22

4.3. Производные и дифференциалы высших порядков. 28

4.4. Производная функции, заданной неявно и параметрически. 36

4.5. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. 44

4.6. Исследование функций одного переменного с помощью производной. 60

4.7. Домашнее задание 95

4. 8. Вопрсы для самопроверки 100

4.9 Типовой вариант контрольной работы 103

Рекомендуемая литература 105

3. Предел последовательности, предел и непрерывность функции одной переменной.

3.1. Функции и основные понятия, связанные с ними.

Пусть X – некоторое числовое множество. На множестве X определена числовая функция f, если каждому элементу x множества X ( ) поставлено в соответствие действительное число f(x). Множество X называется областью определения функции. Произвольный элемент области определения обозначается буквой x и называется аргументом функции. Множество всех значений функции f(x), когда аргумент пробегает область определения функции, называется множеством значений функции f.

Обычно функцию задают формулой, указывающей последовательность математических операций, которые необходимо выполнить над аргументом, чтобы получить ее значение. В этом случае под областью определения функции понимают множество тех значений аргумента, для которых указанные формулой действия выполнимы. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Табличный способ задания функции состоит в том, что указываются значения аргумента и соответствующие им значения функции . При табличном задании функции, ее область определения состоит только из значений , перечисленных в таблице.

Функция f(x) задана графически, если на координатной плоскости изображен ее график. Графиком функции f(x) называется множество точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)) , т. е. множество точек, абсциссы которых принадлежат множеству X, а ординаты равны соответствующим значения функции.

Функция f(x) определенная на множестве X, называется четной, если для любого выполняются условия:

- и .

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция f(x) определенная на множестве X, называется нечетной, если для любого выполняются условия:

- и .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция f(x) определенная на множестве X, называется периодической, если существует такое число Т>0, что для любого выполняются условия:

и .

Число Т называется периодом функции f(x).

Функция f(x), называется ограниченной в окрестности точки , если существует такое число М>0, что

, для любого данной окрестности точки .