5.1 Мора кернеуінің диаграммасы

О. Мора бойынша кернеу диаграммасы (немесе Мор шеңберлері) нормальды қысым -р және жанама τ кернеулер векторлары жиынтығы туралы түсінікті графикалық түрде береді. Бұл кернеулер бас осьтер жүйесінде қаралатын әр түрлі көлбеген алаңдарда әсер етеді. Нормальды қысым -р мөлшерін абсцисса осі бойымен салып, ал оның әрбір мөлшеріне сәйкес келетін жанама кернеулерді τ ордината осі бойымен салып диаграмманы тұрғызады.

Көлбеген алаңдағы нормальды қысым мынандай формуламен анықталатындығы белгілі [(6.3)формуласы]: .

Осымен бірге (6.5) және (6.3) теңдеулерінен мынау келіп шығады:

. (6.11)

Бұдан басқа, бағыттаушы косинустар үшін мынандай түрде болатын белгілі шартты жазайық: (6.12)

(6.3) теңдеуінің екі жағында көбейтейік. Содан кейін алынған нәтижені мүшелеп (6.11) теңдеуінен алып тастайық. Ары қарай, (6.12) теңдеуінің екі жағында алдын ала көбейтіп жоғарыда алынған теңдеуге қоссақ мынандай формуланы аламыз:

(6.13)

(6.13) теңдеуінің екі жағынада қосып және қарапайым түрлендіруден кейін мынаны аламыз: (6.14)

Осы әдістемені қолданып жоғарыдағы ұқсас тағы да екі теңдеуді шығарамыз. Бұл мынандай теңдеулер:

(6.15)

(6.16)

Алынған (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерін аналитикалық геометриядан белгілі мынандай шеңбер теңдеуімен салыстырсақ: осы теңдеулерде шеңберді анықтайды деген қорытындыны шығара аламыз. Осы шеңберлердің центрі абцисса осі бойымен орналасады және (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулері үшін сәйкесті мынандай ара қашықтықта тұрады: және

Шеңбер радиусының R еке есе дәрежесі болып саналатын (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерінің оң жақтарында өзгеретін параметр , және бар. Сондықтан (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерінің әрбіреуі тұқымдас шоғырланған шеңберлердің теңдеулері болып саналады.

(6.3), (6.11) және (6.12) теңдеулері берілген жағдай үшін және τ кернеулерінің қатнастық мәндерін анықтайды. Осы теңдеулерді (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулер жүйесіне математикалық түрлендірген кезде физикалық мәндері өзгертмейтін болады.

Сөйтіп (6.14) теңдеуі бағыттаушы косинусының әр түрлі берілген мәндері үшін және τ нүктелерінің геометриялық орнын шеңбер түрінде анықтайды. Осы (6.15) және (6.16) теңдеулеріне де әділ.

Демек , және бағыттаушы косинустардың берілген мүмкін болатын топ мәндеріне (яғни (6.12) шартын қанағаттандыратын) және τ мөлшерлері үш шеңберлердің қилысатын нүктесімен анықталады (6.2 сурет).

Ары қарай қандай аймақта осы нүктелер орналасуы мүмкін екендігін анықтайық. Анықтау үшін шартын қабылдайық, яғни 1 көрсеткішімен мөлшері бойынша ең үлкен басты нормальды кернеуді, 3 көрсеткішімен ең кіші басты нормальды кернеуді, ал 2 көрсеткішімен аралық басты нормальды кернеуді белгілейік. Осы шартты ылғида сақтауға болады.

Бағыттаушы косинустардың мынандай сәйкесті мәндері үшін: және яғни бұрышы үшін (6.14), (6.15) және (6.16) теңдеулерімен берілген шеңберлердің R₁, R₂ және R₃ радиустер мөлшелерін анықтайық. Осы радиустер мынаған тең:

(6.17)

6.2 – сурет. Мор шеңберлері

(6.14) және (6.16) теңдеулерінен көрініп тұрғандай және мөлшерлерін үлкейткен кезде сәйкесті шеңберлердің радиустері үлкейеді. және τ кернеулерінің мүмкін болатын жұп мәндері және радиусы бар шеңберлердің үстінде немесе оның сыртында, бірақта ішінде орналасуы мүмкін еместігін осы білдіреді.

Егер мөлшері үлкейетін болса, онда R₂ радиусы кішірейеді. Өйткені жоғарыда қабылданған басты кернеулердің қатнастарына сәйкесті айырымы теріс мәнді алады. Демек және τ мөлшелері болған кезде R₂ радиусы бар шеңбердің ішінде орналасады.

, және радиустары бар шеңберлерді жоғарыда көрсетілген центрлерден (6.17)) теңдеулерін қолданып салып Мора диаграммасын аламыз (6.3 сурет). Бір-біріне сәйкес келетін және τ кернеулерінің қос мөлшерлері сызықтап тастаған қисық сызықты үшбұрыштың ішінде жатады. 6.3 суретте тағы да диаграмманың ерекше нүктелері көрсетілген.

Шеңберлер радиусы басты жанама кернеулердің мөлшерлеріне саны бойынша тең екендігі (6.17) теңдеулерінен көрініп тұр.

6.4 – сурет. Мор диаграммасы

Берілген бұрыштар , және бойынша 6.4 сурет көрсетілген тұрғызулардың көмегімен көлбеген алаңдағы және τ мәндерін анықтауға және кері есептерді шешуге болады. Жалпы жағдайға Мора диаграммасы бойынша жанама кернеудің таңбасын анықтай аламыз.

, және кернеулерін бірдей мөлшерге үлкейткен де немесе кішірейткен де басты шеңберлердің радиустары және центрлері арасындағы ара қашықтық өзгермейтіндігін оңай көруге болады. Осындай жағдайда τ осінің жайы ғана өзгереді. Егер τ осін орташа нормальды кернеудің мөлшеріне фигура жаққа жылжытсақ (6.4 суретте көрсетілген жағдайда оңға қарай жылжыту), онда кернеу девиаторының бейнесін аламыз (6.5 сурет). Бұндай жағдайға τ осі ылғида фигураны кесіп өтеді. Осы осьті 6.5 суретте көрсетілген тұрғызулардың көмегімен есептемей жүргізуге болады.

6.4 – сурет. Мор диаграммасы

6.5 – сурет. Мор диаграммасы

Кернеудің шарлық тензоры координаттың басынан ара қашықтығында орналасқан радиусы нөльге тең шеңбермен ( нүктесімен) Мор диаграммасында бейнелейді.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 4, бет 101 – 109); [2] (тарау 3, бет 77 – 101); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4] (тарау 2, бет 70 – 105).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 2, бет 21 – 30).

Бақылау сұрақтары:

1. Ең үлкен жанама кернеулердің алаңдары басты осьтерге қатысты қалай бағдарланған?

2. Мор диаграммасын не үшін қолданады?

3. Мор диаграммасының диаметрін қалай анықтайды?

4. Мор диаграммасының центрін қалай табады?

5. Ең үлкен жанама кернеулер әсер ететін алаңның бағыттаушы косинустары неге тең?

6. Ең үлкен жанама кернеулер қалай анықталады ?

7. Мор диаграммасын қандай әдістемені қолданып тұрғызады ?

№7 дәріс. Лагранж және Эйлер айнымалы шамалары.

Нүкте және бөлшектер. Тұтас ортада жүретін процестерді зерттегенде нүкте деген термин қолданалады. Бұл терминді екі мағанада қолдануға болады. Біріншісі бақлаушының қозғалмайтын кеңістігінің белгіленген нүктесі ретінде қарау. Екіншісі осы кеңістіктегі тұтас ортаның қозғалатын материальды нүктесі ретінде қарау. Сондықтан ары қарай нүкте термині кеңістіктің белгіленген нүктесін білдіретін болады. Тұтас ортаның материальды нүктелерін бөлшек деп атайтын боламыз.

Сызық, бет немесе көлем сияқты геометриялық объектілерді қарағанда және бұл сөздерге кеңістіктік немесе материальдық деген сөздерді қосқанда (мысалы, кеңістіктік бет, материальдық көлем және тағы басқалар) осы фигуралар сәйкесті нүктелерден немесе бөлшектерден құралған деп есептейтін боламыз. Қарап отырған уақыт мезгелінде, байқаушының кеңістігіндегі кейбір D аймақты толтыратын шексіз көп материальды бөлшектер денені құрайды. Денені құрайтын бөлшектердің орналасуы, яғни оның құрама пішіні уақыт өткен сайын жалпы жағдайға өзгереді.

Лагранж айнамалы шамасы. Тұтас ортаның қозғалысын зерттеген кезде тағы да екі түрлі көзқарас пайда болды.

Бірінші көзқарас Лагранж есімімен байланысты. Осы көзқарас бойынша зерттеу объектісі болып материальды бөлшектердің өздері саналады. Сонда тығыздық, температура, белгіленген материальды бөлшектің жылдамдығы сияқты кейбір скалярлық немесе векторлық мөлшерлердің уақытпен өзгеруі және тағыда осы мөлшерлердің бір бөлшектен екіншісіне өткен кезде өзгеруі қаралады.

Басқаша айтқанда осы мөлшерлер уақыттан және аланған бөлшектің даралылығын сипаттайтын айнымалылардан функция ретінде қаралады.

Осындай айнамалылар ретінде, мысалы болатын бастапқы уақыт мезгіліндегі еркін материальды бөлшектің декарттық координатасы –ді қабылдауға болады (7.1 сурет). Онда оның ағымдағы координатасы , байқаушының қозғалмайтын кеңістігіндегі сол базисте, уақыт –ның және жоғарыда айтылған бөлшектің бастапқы координатасының мынандай функциясы болады: ; немесе қысқартылған түрде

. (7.1)

Сөйтіп бастапқы координаталарын белгілеп және уақыт –ны айнамалы деп есептеп біз бір белгіленген бөлшектің қозғалу заңын аламыз. –ді айнамалы деп санап және –ны белгілеп (7.1) формуласы бойынша берілген уақыт мезгіліенде кеңістікте материальды бөлшектің таралуын табуға болады.

7.1 – сурет. Материальды бөлшектің декарттық координат жүйесінде қозғалуы

Егер және –ны айнамалы деп саналса, онда (7.1) формулалары тұтас ортаның қозғалу заңы болып саналады. Әдеттегідей, соңында функциялары үздіксіз және барлық аргументтері бойынша үздіксіз жеке туындылары бар деп есептейтін боламыз, ал кез келген уақыттарында (7.1) қатнасы өзара бір қатарлы болып келетіндігін ескеруіміз қажет.

айнымалары және уақыты Лагранж айнамалылары деп аталады. Материальды бөлшек жылдамдығы мен үдеу проекцияларын келесі формулалармен анықтайды:

(7.2)

Жалпы жағдайда қаралатын материальды көлемде бір бөлшекті екінші бөлшектен айыратын декарттық координаттардың орнына осы бөлшектің бастапқы уақыт мезгілендегі ( ) қисық сызықты координатасын –ді қолдануға болатындығын ескерте кету қажет.

Ілеспелі координаттар жүйесі. Осыған дейін тұтас ортаның қозғалысын біз байқаушының есеп беру жүйесіне қатысты қарадық, яғни қозғалмайтын тікбұрышты декарттық координат жүйесі қатысты қарадық. Бірақта (7.1) байланыстары бөлшектің кеңістіктегі жайын, оның лагранждық координатасымен толық анықтайтығын оңай көруге болады. Осы ілеспелі жүйе деп аталатын қозғалмалы деформацияланатын координаттар жүйесін , яғни тағыда бір есеп беру жүйесін еңгізуге мүмкіндік береді.

Бастапқы уақыт мезгілінде ілеспелі жүйенің материальды координатты сызықтары түзу болады. Кез келген келесі уақыт мезгілінде осы ілеспелі жүйенің материальды координатты сызықтары тұтас ортаның бөлшектерімен бірге, осы жүйенің координатты сызықтарына қайтадан ауысады, бірақта жалпы жағдайда кисайып кетеді. Ілеспелі қисық сызықты координат жүйесі тұтас ортаға бектілген және осы ортамен бірге деформацияланады деп айтуға болады (7.2 сурет).

Эйлер айнамалы шамасы. Эйлер есімімен байланысты екінші пікір бойынша, зерттеу объектісі болып қозғалмайтын бақылаушы кеңістігі қабылданады немесе қозғалатын ортамен толтырылған оның белгіленген бөлігі қабылданады. Қозғалысты сипаттайтын әр түрлі мөлшерлер нүкте және уақыт функциясы болып саналады, яғни Эйлер айнымалы шамасы деп аталатын үш аргумент және уақыт –ның функциясы болады.

Мысалы, радиус-векторы бар кеңістіктің берілген нүктесіндегі жылдамдық үшін формула мынандай түрді алады: .

Сөйтіп, Эйлердің ойы бойынша, зерттеу объектісі болып әр түрлі өрістер (скалярлық, векторлық немесе тензорлық) есептеледі. Осы өрістер тұтас ортаның қозғалысын сипаттайды.

7.2 – сурет. Көлем элементінің деформациясы

Эйлерлік айнымалы шамалардан Лагранждық айнымалы шамаларға ауысу. Сонымен Лагранждың көзқарасы бойынша біздің назарымызға жеке бөлшек жылдамдығының, қысымының, температурасының және басқа мөлшерлерінің өзгеру заңдары түседі. Ал Эйлердің көзқарасы бойынша біздің назарымызға кеңістіктің берілген нүктесінде осы шамалардың өзгеру заңдары түседі. Лагранж айнымалы шамасынан Эйлер айнымалы шамасына қалай өтуге болады? Осы сұраққа жауап беру үшін (7.1) байланысына сүйенейік. Айтылған байланысты қатысты шешіп мынаны аламыз:

, (7.3)

яғни Эйлер айнымалы шамасына ауысамыз. Егер координатасы болатын нүктені белгілесек, онда (7.3) формуласы қандай жеке бөлшектер уақтысында белгіленген кеңістік нүктесіне келетіндігін көрсетеді. (7.3) теңдеуін қатысты шеше отырып (7.1) теңдеуін аламыз, яғни Эйлер айнымалы шамаларынан Лагранж айнымалы шамаларына өтеміз.

Осындай ауысудың тағы да бір тәсілін қарайық. координатасы және уақыт –дан функция ретінде жылдамдық векторының сыңарлары бізге берілсін. Тұтас ортаның бөлшектерін дараландыратын параметрлері тұрақты болған кезде, сәйкесті координаттың уақыт бойынша туындысы қылып жылдамдық сыңарларын анықтайтын дифференциальдік теңдеулер жүйесін жазайық. Осы жүйені шешіп және , шартынан интегралдау тұрақтысын анықтап іздеген (7.1) байланысын табамыз.

Лагранждық және Эйлерлік түрде қозғалысты жазу. Бастапқы кезде ығысу кішкентай деген талапты қоймай тұтас ортаның қозғалысын қарайық. базисін таңдайық. Осы базисті байқаушымен салыстырғанда бектілген деп есептейміз.

Материальды бөлшек бастапқы уақтысында бастапқы координатасы ( ) болатын кеңістік нүктесінде, ал ағымдағы уақтыснда ағымдығы координатасы ( ) болатын кеңістік нүктесінде орналассын.

Сәйкесті радиус-векторларды мынандай түрде жазуға болады:

(7.4)

және . (7.5)

Сонымен бірге мынандай теңдікті де жазу әділ болады: , (7.6)

мұндағы – орын ауыстыру векторы.

Жоғарыда біз айтқанымыздай, тұтас ортаның қозғалысын бейнелейтін бастапқы және ағымды координаттардың арасындағы байланысты екі түрлі әдіспен көрсетуге болады.

Бірінші Логранждық әдісте тәуелсіз айнымалы шамалар болып бөлшектің бастапқы координатасы және уақыт есептеледі, демек немесе векторлық түрде

. (7.7)

Әдеттегідей осы сәйкестік өзара бір қатарлы деп жорамалдаймыз және де, (7.1) функцияларында кез келген ретті үздіксіз жеке туындылар бар болады деп есептейміз.

Осымен бірге тұтас ортаның қозғалысын мынандай қатнас түрімен жазуға болады:

немесе . (7.8)

Мұнда тәуелсіз айнымалы шамалар болып координаталары және уақыт саналады. Қозғалысты Эйлерлік әдіспен жазу ағымдағы уақыт мезгілінде ( ) жайын алатын бөлшектің бастапқы координатасын табуға мүмкіндік береді.

Жоғарыдағы жағдайда сияқты (7.3) қатнасын өзара бір қатарлы және үздіксіз, яғни барлық аргументтері бойынша үздіксіз жеке туындылары бар деп санайтын боламыз.

Сірә, (7.1) және (7.3) формулары өзара кері функциялардың жалғыз жұбы түрінде ұсынылған және де, тұтас ортаны толтырған аймақтың әрбір нүктесіндегі мынандай функциональды анықтауш (якобион): (7.9)

нөльден айырмашылықта болады.

Бейнелеу. Көлемнің өзгеруі. Еркін бекітілген уақыт -ның мәні үшін (7.1) және (7.2) функциялар жүйесі екі түрлі көзқараспен қаралуы мүмкін. Жоғарыда баяндалған біреуі бойынша олар байқаушының қозғалмайтын декарттық координат жүйесінде тұтас ортаның қозғалысын (деформациясын) бейнелейді.

Екінші көзқарас бойынша айтылған жүйелердің бірінші (7.1) жүйесі декорттық координат жүйесімен жабдықталған үш өлшемді евклидов кеңістігінің кейбір D аймағын (7.3 сурет) декорттық координат жүйесімен жабдықталған екінші үш өлшемді евилидов кеңістігінің Е аймағына тегіс бейнелеуді анықтайды. Уақыттың әр түрлі мезгілінде дененің сырт пішінін анықтайтын бейнелеудің осындай тізбегі, тұтас ортаның қозғалысын және осы қозғалыспен байланысты деформацияны суреттейді. Бейнелеудің якобионы (7.9), осы бейнелеудің өте маңызды сипаттамасы болып саналады. Бейнелеу якобионының модулі қаралатын нүктедегі бейнелеудің бұрмалану коэффициенті болады. Осы коэффициент, шексіз кішкентай мөлшердің жоғарғы ретке дейінгі дәлдігімен, көрсетілген нүкте кіретін шексіз кішкентай аймақтың көлемі, оны бейнеленген кезде қанша рет өзгеретіндігін көрсетеді. (7.9) якобионы нөльге айналмайтындығы осыдан шығады. Тағыда айтатын нәрсе, ол бейнелеу уақытпен үздіксіз байланысты және бастапқы уақытта ( ) тепе-теңдікті бейнелеудің якобионы бірге тең болғандықтан, ол ылғида оң болады.

Ағымдағы көлемі және бастапқы көлемі болатын көлемдердің элементтері үшін мынандай қатнас орынды болады: . (7.10)

Қысылмау шартын мынандай түрде жазуға болады: . (7.11)

Осыған ұқсас бекітілген болған кезде (7.3) функциялар жүйесі Е аймағын D аймағына бейнелеуді анықтайды. Сонда мынаны жазуға болады: . (7.12)

7.3 – сурет. Бейнелеу сияқты тұтас ортаның қозғалысы

Аффиндік бейнелеу. Сызықтық бейнелеудің мынандай түрін:

(7.13)

аффиндік деп атайды. Аффиндік бейнелеу бүкіл кеңістігінде анықталған. Бейнелеудің якобионы, яғни анықтаушысы, кеңістіктің әрбір нүктесінде тұрақты мәнді сақтайды.

Аффиндік бейнелеу кез-келген сфераны эллепсоид етіп, ал жазықтық пен түзуді жазықтық және түзу етіп бейнелеумен жақсы.

Аффиндік бейнелеумен жазылатын деформацияланатын күй біркелке деп аталады.

тензорын диагональдық түрге келтірген кезде, бейнелеу жаңа координаттық осьтің бойымен біркелкі созуға (қысуға) келтірілетіндігі оқулық [1] жазылған (1.1 леммасы). Сонда (7.13) теңдеуі мынандай қарапайым түрді қабылдайды:

. (7.14)

Әрбір дифференциалданатын бейнелеу жергілікті аффинді болып саналады. Сондықтан шексіз кішкентай аймақтағы аффиндік бейнелеу, барлық кеңістіктегі аффиндік бейнелеу ие болатын қасиетті иемденеді.

Сонымен, қозғалыс әрқашанда кейбір есеп беру жүйесіне, яғни координат жүйесіне қатысты анықталады. коордианттары тікбұрышты декарттық координаттар жүйесінің координаттары болсын. Материальдық бөлшек Р-нің қозғалысын қарайық (7.1 сурет). Бастапқы кезде ( уақтысында) осы бөлшек Р₀ орнын алады, бетімен шектелген бастапқы (деформацияға дейінгі) көлемде орналасады. Ең ақырғы (деформацияланған) күйде осы бөлшек жайын алады және бетімен шектелген деформацияланған көлемінде орналасады. Материалды бөлшек Р қозғалғанда, оның маңызды күйіне бөлшегі сәйкес келеді және маңызды күй түсінігін барлық деформациялау процесінің нәтижесі де (түпкі күйі де) кіреді. Сөйтіп , және дегеніміз бастапқы, маңызды және түпкі (нәтижелі) күйлердегі шексіз кішкентай бір материалды талшық. Егер бөлшек таңдалған координат жүйесіне қатысты қозғалса, онда оның координаттары уақытысы бойынша төмендегідей өзгереді:

Қозғалатын материалды бөлшек уақыттың әр түрлі мезгілінде кеңістіктің әр түрлі нүктесіне келеді. Егер функциясы белгілі болса онда материалды бөлшектің қозғалыс заңы белгілі болады.

Егер барлық материалды бөлшектің қозғалысы жазылған болса, онда тұтас ортаның ағатын немесе деформацияланатын қозғалыс заңы берілген болар еді. Ол үшін әрбір материалды бөлшекті жекеленген деп есептеу керек, яғни әрбір материалды бөлшекті бастапқы уақыт мезгілінде нөмірлермен немесе бастапқы күй координаталары –пен белгілеп қою керек. Онда тұтас ортаның қозғалысы, төрт айнымалы шамалар кіретін (7.1) формуласымен жазылады.

Егер (7.1) формуласында координаттары бекітілген болса, онда тұтас ортаның барлық қозғалысынан жалғыз материалды бөлшектің қозғалысын ғана бөліп қарайтын боламыз. Егер координаттары әр түрлі болса, онда (7.1) функциясы бекітілген уақыт мезгілінде материалды бөлшектердің кеңістікте таралуын анықтауға мүмкіндік береді. Осындай жағдайға материалды бөлшектер арасындағы ара қашықтықтың өзгеруі тіркелген болар еді. Сөйтіп (7.1) функциясы белгілі болса, онда тұтас ортаның деформация заңы берілген болады. Жоғарыда айтылған жағдайда деформация термині бастапқы және маңызды, соның ішінде түпкі (немесе нәтижелі) күйлерді салыстыруға қолданылады. Бірақта уақыт бойынша деформацияланудың тарихы қаралмайды. (7.1) теңдеуіндегі координаттары және уақыт Лагранж айнымалылары деп аталатындығын жоғарыда айттық. Тұтас ортадағы материалды бөлшектердің орын ауысуын төмендегі формуламен анықтайды: ағыс үшін ; (7.15)

деформация үшін (7.16)

Деформациаланатын қатты дене механикасындағы нақтылы есептерді шығарған кезде, іздейтін мөлшерлер болатын және континуумның қозғалыс заңына кіретін функциялар (7.1) үздіксіз және өзінің барлық аргументтері бойынша үздісіз жеке туындылары бар деп әдетте пайымдайды. Әрбір бекітілген уақыт мезгілінде (7.1) функциялары өзара бір қатарлы байланаста болуы керектігі физикалық түсініктен шығады. Себебі, олай болмайтын болса екі материалды бөлшек кеңістіктің бір нүктесіне бірдей баруы мүмкін. Сондықтан (7.1) теңдеулер жүйесінің жалғыз ғана шешімі бар болады. Осы шешім бойынша координаттарын координаттары және уақыт функциясы ретінде (7.3) формуласымен анықтайды.

Деформацияға дейінгі жазықтықтар мен түзулер деформациядан кейін де жазықтар мен түзулер болып қалатын өте кішкентай кесіндіні, ауданды, көлемді деформацияланатын ортадан таңдап алуға болады. Осылай деформацияланатын ортада сфера эллипске айналатындығы бұрын айтылды. Осындай басқа түрге айналу сызықтық немесе аффиндік деп аталады. Аффиндік басқа түрге айналумен жазылатын деформациялық күй біркелкі деп аталады, ал (7.1) байланыстылығы (7.13) формуласымен жазылатын түрді алады.

Түрлендірудің якобионы (сызықтық немесе аффиндік түрлендірудің), яғни аңықтаушысы нөльге тең болмайды және (7.13) теңдеулер жүйесіне сәйкесті, кеңістіктің әбден белгілі нүктесіне ие болатың координатасы бар әрбір жеке материалды бөлшек үшін тұрақты мәнді сақтайды. Демек, бекітілген уақыт мезгілі және белгілі мәндері үшін (7.13) теңдеулер жүйесін белгісіздеріне қатысты шешіп мынандай функциональдық байланысты анықтауға болады: (7.17)

Осыдан кейін ретті -ның әр түрлі мәндері үшін ағу заңдарын (7.3) формуласы бойынша табуға болады.

(7.3) және (7.17) формуласындағы координаталары және уақыт Эйлер айнымалысы деп аталатындығы жоғарыда айтылды. Тұтас ортаның материалдық бөлшектерінің орын ауысуы мынандай формула бойынша жазылады: ағыс үшін

(7.18)

деформация үшін (7.19)

Сонымен Лангранждық және Эйлерлік айнымалы шамалар бір ғана декорттық координаттар жүйесіне қатысты болады. Тұтас ортаның ағысын (7.15), (7.18) және деформациясын (7.16), (7.19) Лагранждық және Эйлерлік айнымалы шамалармен бейнелеудің арасындағы айырмашылық келесіден тұрады.

Тұтас ортаның ағысын және деформациясын (7.15) және (7.16) түрінде Лагранждық бейнелегенде, бастапқы уақыт мезгіленде координатасы болатын әрбір материалды бөлшектің қозғалысын бақылап отырады, яғни мұнда . Әр түрлі уақыт мезгілінде тұтас ортаның деформациясын бейнелеу, әрбір материалды бөлшектің орын ауыстыру векторының теңдеуімен беріледі, және де .

Тұтас ортаның қозғалысын (7.18) және (7.19) түрінде Эйлерлік бейнелегенде кеңістіктің әрбір белгіленген нүктесінде болатынды бақылайды, яғни мұнда . Деформациялау процесінде кеңістіктің белгіленген нүктесі арқылы әр түрлі материалды бөлшектер өтеді, яғни . Сондықтан орын ауыстырудың шамасы уақыт бойынша өзгереді, бірақта .

Уақыт мезгілінде және теңдіктерінің бар болуы бастапқы уақыт t_о мезгілінде тұтас ортаның деформацияланбағынын, бастапқы орын ауыстырудың және кернеудің жоқтығын дәлелдейді.

Сонымен, Лагранждың көзқарасы бойынша зерттеушіні тұтас ортадан берілген жеке материалды бөлшектің жылдамдығының, үдеуінің, температурасының, кернеуінің, деформациясының және басқа мөлшерлерінің уақыт бойынша өзгеру заңдылықтары зауықтандырады. Ал Эйлердің көзқарасы бойынша зерттеушіні кеңістіктің нүктесінде (немесе нүктелерінде) жылдамдықтың, үдеудің, температураның, кернеудің және басқа мөлшерлердің уақыт бойынша өзгеру заңдылықтары зауықтандырады.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 2, бет 49 – 77). [4]: (тарау 3, бет 111 – 134).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 3, бет 38 – 58).

Бақылау сұрақтары:

1. Материальды бөлшектің лагранждық координатасы уақытпен өзгере ме?

2. Ілеспелі координат жүйесі дегеніміз не?

3. Кеңістік нүктесінің эйлерлік координатасы уақыт бойынша өзгере ме?

4. Лагранждық тәсілден Эйлерлік тәсіл немен айырмашылықта болады?

№8 дәріс. Түпкі деформацияның тензоры.

Тұтас ортаның деформациясын бейнелеу мақсатымен екі жақын материалды бөлшектің орын ауыстыруын қарайық. Бастапқы мезгілде олар және нүктелерінде орын алсын (8.1 сурет), ал соңғы уақыт мезгілінде және нүктелеріне орын ауыстырсын.

және нүктелердің арасындағы шексіз кішкентай ара қашықтықтың еке есе дәрежесі мынаған тең: .

Қозғалысты Лагранжша жазуды негіз етіп алайық. Оқулық [1] келтірілген формула бойынша мынаны жазуға болады: немесе скалярлық түрде жазсақ мынаны аламыз: . Нәтижесінде элемент ұзындығының екі есе дәрежесі мынаған тең болады: (8.1)

Бастапқы уақыт мезгілендегі материалды бөлшектер арасындағы ара қашықтықтың еке есе дәрежесі мынаған тең болсын: , мұндағы – кронекер символы.

Бөлшектердің айналасындағы деформацияның өлшемі ретінде мынандай айырымды алайық:

(8.2)

Егер дененің барлық нүктелерінді мынандай шарт орындалса: , онда мұндай дененің қозғалысы мүлде қатты қозғалыс деп аталады. Егер дененің М нүктесіндегі инвариантқа мынандай шарт орындалса , онда бұл нүктеде дене деформацияланған күйде деп айтылады.

8.1 – сурет. Көлем элементінің түпкі деформациясы

(8.2) теңдеуіндегі мынандай екінші рангілі тензорды: (8.3)

Лангранждық түсініктегі Коши деформациясының тензоры деп атайды. Осы тензордың алты сыңарларының кейбіреуінің жайылған түрі мынандай болады:

Екінші валентті симметриялық тензор мынандай сыңарларымен:

(8.4)

немесе түпкі деформацияның лагранждық тензоры (Грин тензоры) деп аталады.

Осы тензорды орын ауыстыру шамалары кіретін сыңарлары бар тензор түрінде көрсету ыңғайлы. Орын ауыстыру анықталатын мынандай формула жазайық:

Жоғарыда жазылған формуладан мынаны табамыз: . Алынған теңдеуді дифференциалдағаннан кейін мынаны аламыз:

және .

Екі соңғы формуларды (8.1) теңдеуіне қойып деформацияланған талшықтың (MN) модулінің екі есе дәрежесі мен орын ауыстырудың мынандай байланысын табамыз:

Мынандай теңдіктер орындылатын болғандықтан: төмендегі формуланы аламыз:

. (8.5)

(8.2) және (8.5) формуларын салыстару мынаны жазуға мүмкіндік береді:

(8.6)

Сонда, лангранждық түсініктегі Коши деформациясының тензорын орын ауыстыру арқылы мынандай түрде жазуға болады:

(8.7)

ал Грин тензорының сыңарларын орын ауыстыру тензорының функциясы түрінде келесі қатнастар бойынша анықтайды:

. (8.8)

(8.8) формуласы түрінде жазылған Грин тензорының алты сыңарларының кейбіреуінің жайылған түрі мынандай болады:

Қозғалысты эйлерлік түрде бейнелеуді негіз етіп алып деформация тензорлары сыңарларын анықтайтын формулаларды шығаруды қайталайық.

Оқулық [1] келтірілген формула бойынша мынаны жазуға болады:

Нәтижесінде элемент ұзындығының екі есе дәрежесі мынаған тең болады:

. (8.9)

Ақырғы уақыт мезгіліндегі материалды бөлшектер арасындағы ара қашықтық еке есе дәрежесі мынаған тең:

Бөлшектердің айналасындағы деформацияның өлшемі ретінде мынандай айырымды алайық:

(8.10)

Соңғы теңдеудегі мынандай екінші рангілі тензорды: (8.11)

Эйлерлік түсініктегі Коши деформациясының тензоры деп атайды. Сірә, –нің алты сыңарлары жаңа симметриялық тензор құрайды және кейбіреуін мынандай формуламен анықтауға болады:

Мынандай сыңарлары бар екінші валентті симметриялық тензорды:

(8.12)

немесе түпкі деформацияның эйлерлік тензоры (Альмансы тензоры) деп атайды.

Жоғарыда жазылған әдістемені қолданып Альмансы тензорының сыңарларын орын ауыстыру арқылы анықтайтын болсақ мынаны аламыз:

(8.13)

ал Альманси тензорының сыңарларын орын ауыстыру тензорының функциясы ретінде келесі байланыстар бойынша анықтауға болады:

(8.14)

Логарифмдік деформация. Әрбір және симметриялық тензорлары үшін координат жүйесін бұрып (8.1) және (8.9) тензорлық эллипсоид теңдеулерін диагональды емес сыңарлары нөльге айналатын каноникалық түрге келтіруге болады. және тензорының мынандай диагональды түрге келтірілген және сыңарлары:

және

төмендегі сипаттамалық теңдеулерден анықталады:

(8.15)

, (8.16)

мұндағы λ – және -дің басты мәндері; – және тензорларының сәйкесті бірінші, екінші, үшінші инварианттары.

Деформация процесінде элементарлы сфера эллипсоидқа айналады. Бұл бейнелеудің жергілікті аффиностілігінен келіп шығады. Осындай сфераның эллипсоидқа айналатандығын дәлелдеу мақсатымен дефорцияланбаған ортадан радиусы болатын сфералық бетпен шектелген материалдық көлемді алайық. Бастапқы координаттағы осындай беттің теңдеуі мынандай болады: .

Деформация жасалғаннан кейін сол материалды көлемнің беттік теңдеуі мынандай түрді қабылдайды:

немесе

. (8.17)

Осы теңдеу деформацияның материалды эллипсоиды ретінде белгілі жартылай осьтері бар эллипсоидты анықтайды.

Эллипсоидтың жартылай осьтері мынандай қатнаста болсын: . Онда (8.15) теңдеуінен анықталатын басты деформациялар мынаған тең болады:

. (8.18)

Сөйтіп теңсіздігінен теңсіздігі шығады. Сондықтан ең үлкен деформацияға -ның ең кішкентай мәні сәйкес келеді.

Сірә, қос нәтижелік сырт пішінді өзгерту тензорларының басты мәндері мынандай қарапайым қатнастарымен байланысты:

(8.19)

Логарифмдік деформацияны есептеп мынаны аламыз:

; ; (8.20)

және қарауымызға мынандай логарифмдік деформацияның тензорын енгіземіз:

(8.21)

Осы тензордың басты осьтері материалды эллипсоидтың осьтерімен дәл келеді және -дің басты сыңарлары басты логарифмдік деформация деп аталады.

Еркін координат жүйесіндегі тензор сыңарларын (8.8) және (8.14), содан кейін (8.4) және (8.12) формуларының қолданып табуға болады.

Нәтижелік сырт пішінді өзгерту тензорларының сыңарлары логарифмдік деформациялар арқылы былай көрсетіледі:

(8.22)

Сөйтіп басты логарифмдік деформацияны анықтау үшін бір нәтижелік сырт пішінді өзгерту тензорының сыңарларын (Коши деформациясы тензорының сыңарларын) және осы тензордың басты мәнін табу қажет.

Қысылмаушылық шарты қалай жазылатындығын қарайық. Деформацияға дейінгі элементарлы сфераны көлемі мынаған тең: , ал материалды эллипсоидтың көлемі былай табылады: Осы көлемдерді теңестіре отырып және алынған теңдіктің екі жағын да логарифмдеп мынандай формуланы аламыз: , (8.23)

яғни логарифмдік деформациялардың қосындысы нөльге тең болады.

Логарифмдік деформацияны толығырақ зерттеу үшін тікбұрышты параллелепипедтің біркелкі деформациясын қарайық. Параллелепипедтің басстапқы енін, ұзындығын және биіктігін әріптерімен, ал деформацияның ағымдағы уақытысындағы осы параллелепипедтің енін, ұзындығын және биіктігін әріптермен белгелейік.

Параллелепипедтің ақырғы өлшемдері болып саналатын болсын (8.2 сурет). Параллелепипед биіктігіне шөктірілді деп есептейік. Осы шөктеруге сәйкесті шексіз кішкентай салыстырмалы деформация мынаған тең болады: .

биіктігінен биіктігіне дейін шөктерген кезде салыстырмалы деформацияның жиынтығы мынаған тең болады: . Осы деформацияға ұқсайтын ен мен ұзындық бағыттарындағы деформациялар былай анықталады: ; .

8.2 – сурет. Тікбұрышты параллелепипедтің біркелкі деформациясы

Сөйтіп біркелкі деформация кезінде логарифмдік деформацияны табу үшін өте шексіз кішкентай деформациялардың қосындысын табу керек. Сондықтан, логарифмдік деформацияны көп жағдайда дәл деформация деп атайды.

Дененің деформациядан кейінгі өлшемдерін осы өлшемдерге сай деформацияға дейінгі өлшемдерге қатнастырып мынандай коэффициенттерді табады: – шөктеру коэффициенті (жаншу); – кеңейту коэффициенті; – ұзарту коэффициенті (ұзарту).

Дененің көлемі тұрақты болған кезде мынандай теңдік орынды болады: Осы теңдіктің оң жағын сол жаққа бөлген кезде мынаны табуға болады: .

Жоғарыдағы теңдіктің екі жағында логарифмдесек материалдың қысылмаушылық шартын мынандай түрде табамыз:

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 2, бет 49 – 77); [4]: (тарау 3, бет 111 – 134).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 3, бет 38 – 58).

Бақылау сұрақтары:

1. Грин тензоры қандай формуламен анықталады?

2. Альмансы тензоры қандай формуламен анықталады?

3. Логарифмдік деформацияның тензорын қандай ретпен анықтауға болады?

4. Шөктеру, кеңейту, ұзарту коэффициентерінің көбейтіндісі неге тең ?

5. Шөктеру, кеңейту, ұзарту коэффициентері қандай формуламен анықталады ?

№9 дәріс. Кішкене деформацияның тензоры

Енді жалпы танысудан бас тартып орын ауыстырудың сыңарлары және олардың градиенттері кішкентай деп есептейміз.

Сонымен қатар деп есептеп (8.8) формуласындағы осы мөлшерлердің көбейтіндісін алып тастауға болады. Нәтижесінде мынандай сыңарлары бар лагранждық кіші деформация тензорын аламыз: .

Осыған ұқсас бірмен салыстарғанда кіші деп есептеп (8.14) формуласында олардың көбейтіндісін алып тастап мынандай сыңарлары бар эйлерлік кіші деформация тензорын аламыз: .

Ығысуды кішкентай деп болжау лангранждық және эйлерлік координаттар арасында айырмашылық жоқ, ал сәйкесті тензорлар бір-біріне дәл келеді деп есептеуге әкеледі, яғни .

Ары қарай, кішкене деформация теориясында тек лангранждық координат қолданалатын болады және уақыттың мынандай екі кезеңін қарайтын боламыз: бастапқы және түпкі .

Материалды бөлшектің соңғы жайын ( болған кезде) орын ауыстыру векторының көмегімен анықтайтын боламыз. Осы, материалды бөлшектің бастапқы (лангранждық) координаталарын кіші әріпімен жаза отырып белгілеу жүйесін өзгертуге мүмкіндік береді. Сонда орын ауыстырудың векторлық өрісі мынандай түрде жазылады: .

Деформация тензоры. Мынандай симметриялық тензор: (9.1)

сызықтық кішкене деформация тензоры немесе жай кішкене деформация тензоры деп аталады. Мұндағы кішкене деформация тензорының сыңарлары мынандай формуламен анықталады: . (9.2)

Осы тензордың сыңарларында қандай геометриялық мағана бар екендігін қарастырайық. Бұрын біз М және N бөлшектерін толық еркін орналастырдық. Енді векторы осіне параллельді болатын етіп N бөлшегін таңдайық, яғни .

Деформациядан кейін векторы векторына түрленеді, әрі векторының сыңарлары (9.2) формуласы бойынша есептеледі.

М және N бөлшектері арасындағы деформацияға дейінгі ара қашықтық L әріпімен, ал деформациядан кейінгі ара қашықтық l әрпімен белгілейік. Сонда мынаны аламыз:

.

Бұрынырақ біз талдауды кішкене деформация жағдайымен шектедік. Бұл шексіз кішкене ретке дейінгі дәлдікпен мынаны жазуға мүмкіндік береді:

МN материалды кесіндінің салыстырмалы ұзаруы мынаған тең болады:

.

Сонымен сыңары деформацияға дейін осіне параллельді болатын элементарлы кесіндінің салыстармалы ұзаруына тең.

Осыған ұқсас, және сыңарлары, сәйкесті және осьтеріне параллельді материалды кесінділердің салыстырмалы ұзаруына тең болады.

Деформацияланатын дененің қандай болса да М нүктесінде координат осьтеріне параллельді шексіз кішкентай және қыры бар элементарлы параллельді бөлейік. Осы параллепипедтің бір ұшы М нүктесімен дәл сәйкес келуі керек.

осы элементарлы параллелепипедтің деформацияға дейінгі жазықтығына, ал а нүктесі М нүктесінің проекциясы болсын (9.1 сурет).

Деформациядан кейін а, b, c, d нүктелері орын ауыстыруды алды. а нүктесі нүктесіне, b нүктесі нүктесіне, с нүктесі нүктесіне, d нүктесі нүктесіне ауысады. және с нүктелерінің орын ауыстыруларын а нүктесінің орын ауыстыруы арқылы білдірейік. нүктесі және орын ауыстыруларын алды. Осы орын ауыстырулар, нүктесі проекциясы болатын М нүктесінің координатасының функциясы болады, яғни ; . с нүктесі осінің бағытында нүктесінен шексіз кішкентай ара қашықтығында орналасқан. Сондықтан осінің бағытында с нүктесінің орын ауыстыруы мынаған тең болады: Бірақта жоғарлы қатарлы мүшелерді ескермей осінің бағытында с нүктесінің орын ауыстыруы нүктесінің орын ауыстыруынан координатасы бойынша ұзындығында функциясының қосымша өсірілу мөлшеріне айырмашылықта болады деп есептеу керек. Онда мынаны аламыз: .

Осыдан, ұзындығы болатын қырының салыстырмалы ұзындығы, яғни бағытындағы салыстырмалы деформациясы мынаған тең болады:

Осыған ұқсас жолмен мынаны аламыз:

9.1 суретті қолданып тағыда мына орын ауыстыруларды анықтауға болады:

Енді бұрыштық деформацияларды анықтауға ауысайық.

Бұраштардың өзгеруі шексіз кішкентай болғандықтан мынандай шарттарды қабылдаған дұрыс болады: және . Сондықтан осы бұрыштарды мынандай формуланы қолданып анықтаймыз (9.1 сурет): .

9.1 – сурет. Элементарлы параллелепипедтің координаталық осьтер проекциясындағы сызықтық және бұрыштық деформациясы

Осы формулаға және -нің алынған мәндерін қойып мынаны табамыз:

және осы мөлшер бірден едәуір кіші болғандықтан мынаны жазған әділ болады: Осындай тәсілмен мынаны аламыз: .

Сонымен және кесінділердің арасындағы бастапқы кездегі тік бұрыш мынандай мөлшерге азайады:

Тік бұрыштың осындай өзгеруі оның салыстырмалы ығысуы деп аталады.

Қаралып жатқан параллелепипедтің басқа координатты жазықтықтарға проекциялары үшін ой бағытын жалғастырып, деформация тензорының бүйірлік сыңаралары және бұрыштардың бұрмалануын сипаттайтындығын оңай байқауға болады. Осы деформация тензорының сыңарларын ығысу деформациясының сыңарлары деп атайды.

Қаралып жатқан параллелепипедті және жазықтықтарына проекциялап деформацияның басқа сыңарларын анықтайтын формулаларды табамыз.

Нәтижесінде мыналарды аламыз: салыстармалы ұзару ; ; ;

салыстармалы ығысу .

Деформация тензорының сыңарларының таңбасын талдауға тоқталып өтеуік.

Егер функциясы өскен сайың үлкейсе, яғни , онда біз, сірә ұзындығының өсуіне куә боламыз (9.1 суретте с бөлшегінің оңға қарай орын ауысуы а бөлшегінің орын ауысуынан көп болады). Сонымен егер болса, онда ұзару бар болады, ал егер болса, онда деформация кезінде материалды талшық қысқаратын болады.

Ары қарай, егер функциясы өскен сайың көбейетін болса, онда болады. Сонда ас кесіндісі осінен осіне қарай бұрылатын болады (9.1 - сурет). Дәл осылай болған кезде кесіндісі осінен осіне қарай бұрылатын болады. Осыдан егер және осінің арасындағы тік бұрыш азайатын болса онда ығысуы оң болатындығы шығады. Осы ереже басқа жазықтықтардағы ығысулар үшін әділ болып қалады.

Сонымен , оң сызықтық деформацияларға координат осьтері бойымен ұзару сәйкес келеді, ал теріс сызықтық деформацияларға айтылған координат осьтері бойымен қысқару сәйкес келеді.

Оң , ығысуы деформацияларына осьтердің оң бағыттары арасындағы бұрыштардың кішіреюі сәйкес келеді, ал теріс ығысуы деформацияларына айтылған бұрыштардың көбеюі сәйкес келеді.

Деформациялардың басты сыңарлары. Координаттарды бұру арқылы деформация тензорын мынандай түрге келтіруге болады:

(9.3)

Деформацияның басты сыңарлары мынандай теңсіздікке бағынады деп уәделесейік: .

Жаңа координатты жүйеде тензордың бүйірдегі сыңарлары нөльге тең болады, яғни ығысу деформациясы жоқ болады, ал координаттар осьтері бағытындағы сызықтық деформацияларға тек орын бар болады. Қабырғалары координатты жазықтықтарға параллельді, биіктігі және көлемі болатын элементарлы куб деформацияның нәтижесінде қабырғалары , , тең болатын тікбұрышты параллелепипедке айналады.

Осы параллелепипедтің көлемі мынаған тең:

.

Екінші реттік кіші мөлшерге дейінгі дәлдікпен көлемнің салыстырмалы өзгеруі мынаған тең болады: . (9.4)

Деформацияның басты сыңарлары мына сипаттамалық теңдеудің: нақты түбірі болады. Жоғарыдағы теңдеу жайылған түрде былай жазылады:

. (9.5)

Деформация тензорының инварианты мынаған тең:

; (9.6)

; (9.7)

. (9.8)

Бірінші инварианттың физикалық мағанасы бар. Осы мағана бойынша, егер тұтас орта деформацияланса, онда бірінші инвариант көлемнің салыстырмалы өзгеруіне тең болады. Айтылған физикалық мағана тағыда мынандай теңдіктен шығады:

. (9.9)

Деформацияның девиаторы. Деформация тензорын девиатор және шарлық тензор қосындысы түрінде көрсетуге болады, яғни

немесе . (9.10)

Анықтама бойынша девиаторының бірінші инварианты нөльге тең. Сондықтан девиатор көлемнің өзгеруімен байланысты емес деформацияны бейнелеуді.

(9.13) формуласы шексіз кішкентай элементтің деформациясын екі деформацияның қосындысы түрінде көрсетеді. Бірінші деформация девиатормен сипатталады және көлемнің өзгеруінсіз элемент пішінің өзгеруін бейнелейді, ал екінші деформация (шарлық тензор) осы элементтің барлық жақтан біркелкі созылуымен немесе қысылуымен бейнеленеді.

Девиатор сыңарларын әріпімен белгілейік, онда осы сыңарларды мынандай формуламен анықтауға болады: . (9.11)

девиаторы симметрия талабын орындайтын болғандықтан, оны диагональді түрге келтіруге болады. Сірә, деформация девиаторының басты бағыты деформация тензорының басты бағытымен дәл сәйкес келеді.

Сипаттамалық теңдеуде мынандай түр бар:

немесе (9.12)

Девиатордың бірінші инварианты нөльге тең. Екінші және үшінші инварианттар мынаған тең:

(9.13)

(9.14)

Мынандай мөлшерді (9.15)

ығысу деформациясының қарқындылығы деп атайды. Ары қарай осы мөлшер әр түрлі материалдың жүріс-тұрысын бейнеленген кезде кеңінен қолданалатын болады.

Бұрын көрсетілгендей илемділік деформация кезінде дененің көлемі өзгермейді және кіші деформацияның қосындысы мынаған тең болады: , демек . Сондықтан илемділік деформация кезінде деформацияның шарлық тензоры нөльге тең болады және деформация тензоры девиатор болып саналады.

Осі симметриялы кернеу-деформация күйі үшін цилиндрлік координатта деформация формуласын шығарусыз былай жазайық:

(9.16)

Бір координатты жазықтыққа параллельді және әрбір басқа екі координатты жазықтықпен бірдей 45⁰ бұрышын құратын аудандарда ең үлкен (басты) , және ығысу деформациялары пайда болады. Осы ығысу деформациялары басты сызықты деформациялары арқылы былай анықталады:

; және . (9.17)

Басты ығысу деформациялары бір-бірімен мынандай формуламен байланысқан:

. (9.18)

Координатты осьтерге бірдей көлбеген алаңдарда (октаэдрлік алаңдарда) октаэдрлік деформациялар пайда болады.

Сызықтық октаэдрлік деформация орташа деформация болады, яғни

. (9.19)

Дененің көлемі тұрақты болып қалатын илемділік деформациясы кезінде мынандай шарт орындалады: . (9.20)

Октаэдрлік ығысу деформациясы немесе октаэдрлік ығысу мынандай формуламен анықталады: . (9.21)

Бұдан басқа, илемділік деформациясы теориясында деформацияның қарқындылығы деп аталатын оң скалярлық мөлшер кеңінен қолдануды тапты. Осы мөлшер мынандай формуламен анықталады:

. (9.22)

мөлшерлері бір-бірінен тек тұрақты көбейткішпен айырмашылықта болады, яғни: ; ; ,

мұндағы және − абсолюттік мөлшері бойынша ең үлкен басты ығысу және басты сызықтық деформация.

Бұрын қолдаланған тәсілдерді қолданып, кернеуге салынған Мора диаграмма сияқты диаграмманы деформацияға да салуға болады. Бірақта және γ координатасында салу қажет.

Деформацияның бірлестік теңдеулері. Тұтас орта қозғалған кезде кез келген материальды бөлшектің орын ауыстыруы үш функциямен ( орын ауыстыру векторының сыңарларымен) сипатталады. Ал осы бөлшектің айналасының деформациясы мынандай алты мөлшермен сипатталады: .

Егер тік есеп, яғни орын ауыстыру сыңарлары арқылы деформацияның сыңарларын есептеу, функциясын координаталар бойынша дифференциалдауға алып келсе, онда қарама-қарсы есеп, яғни функциясын деформация сыңарлары бойынша табу, көп жағдайда шешімсіз болады.

Физикалық бұндай жағдай болуы мүмкін. Денені элементарлы параллелепипедтерге бөлейік және әрбір параллелепипедке деформацияның алты сыңарын белгілейік. Егер де деформацияның сыңарлары бір-бірімен белгілі теңдікпен байланысқан болмаса, онда жеке деформацияланған параллелепипедтен үздіксіз деформацияланған денені қайтадан жинау қиын болады. Параллелепидтердің арасында шексіз кішкентай бос орындар пайда болады.

Жоғарыда айтылғанг қатнастар оқулық [1; 4] берілген.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 2, бет 49 – 77); [2] (тарау 4, бет 111 – 121); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4]: (тарау 3, бет 111 – 134).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 7, бет 38 – 58).

Бақылау сұрақтары:

1. Орын ауыстыруды кішкентай деп жорамалдау қандай жеңілдетуге алып келеді?

2. Элементарлы кубтың қандай деформациясын кішкентай деформация тензорының диагональдық сыңарлары бейнелейді?

3. Элементарлы кубтың қандай деформациясын кішкентай деформация тензорының бүйірдегі сыңарлары бейнелейді?

4. Қандай жағдайда деформация сыңарлары оң болады?

5. Кіші деформация тензорының сызықтық инвариантында қандай физикалық мағына бар?

№10 дәріс. Тұтас ортаның ағуы. Жылдамдық өрісі. Деформация жылдамдығы тензоры.

Материальды бөлшектің бастапқы және ағымдағы координаталарын байланыстыратын қатнастармен тұтас ортаның қозғалысы және деформациясы берілетіндігін біз анықтадық. Сызықтық емес тензорларды қолданып түпкі деформацияны (атап айтқанда осындай деформациялар металдарды қысыммен өңдеу процестеріне тән) бейнелеу үлкен математикалық қиындықтарға алып келеді. Сондықтан ағамдағы t уақыт мезгіліне сәйкес келетін құрама пішіннен жақын уақыт мезгіліне сәйкес келетін құрама пішінге өту едәуір жеңіл. Осы кезде ағымдағы коордиантасы бар материальды бөлшек координатасы бар кеңістік нүктесіне көшірілінеді. Осындайда -ды -ға бөліп және нөльге ұмтылдырып, шектікке өту арқылы жылдамдық векторының өрісін былай анықтаймыз: .

Осы жылдамдық векторының өрісі барлық материальды бөлшектің лып етіп өтетін ағыс көрінісін бейнелейді. Жылдамдық өрісін біле отырып еркін материальды бөлшектің бастапқы және ағымдағы координаттары арасындағы байланысты қалай анықтауға болатындығын біз жоғарыда көрсеттік. Нәтижесінде түпкі деформацияны тауып талдау, жылдамдық өрісін жүйелі уақыт аралығында зерттеп анықтауға мүмкіндік пайда болады.

Жылдамдық өрісі векторлық өрістің жеке жағдайы болғандықтан, оны бейнелеу үшін векторлық өрістің жалпы теориясын қолдануға болады.