12.1 Илемділік

Изотропты орта үшін илемділіктің басталуының шарты. Күрделі кернеу күйі жағдайы үшін өте жақсы серпімді-илемді ортаның моделін қорытындылайық. Бір осьті кернеу күйі жағдайында металдың илемділік күйге өтуі ағым шегіне жеткен кезде жүретіндігін біз анықтадық.

Жалпы жағдайда илемділік шарты (жиі тағы да ағым шарты деп аталады) мынандай түрде жазылады: f(σ_ik) = k, k = const, (12.18)

мұндағы σ_ik – кернеу тензорының сыңарлары; k – ағым шегімен байланысты материалдың константасы.

Сонда, дене әлі серпімділік күйде болған кезде мынандай теңсіздік орындалатынын болжайды: f(σ_ik) < k, (12.19)

ал илемділік күйге өту (12.18) шартына сәйкес келеді.

Ең үлкен жанама кернеулердің тұрақтылық шартты. Осы шарт (Треска-Сен-Венан шарты) келесі түрде жазылады:

(12.20)

Мұндағы τ₁, τ₂, τ₃ – басты аудандарға π/4 бұрышымен еңкейген алаңдарда әсер ететін ең үлкен жанама кернеулер.

Жоғарыда біз айтқанымыздай σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ шартының орындалуы талап етілмейді.

Серпімділік күйде (12.20) барлық шарттар теңсіздік белгісімен орындалады. Илемділік күйде бір немесе екі шартта теңдік белгісі болуы қажет. Осы кезде, бар болатын ең үлкен жанама кернеулер тұрақты мәнді сақтайды.

σ₁ = τ_s, σ₂ = 0, σ₃ = -τ_s болған кезде пайда болатын таза ығысудағы ағым шегін τ_s деп белгілейік. (12.20) формуласынан, созған кездегі ағым шегі (σ_s) τ_s-пен мынандай тәуелділікпен: σ_s = 2 τ_s байланысты екендігі шығады.

Треска-Сен-Венан илемділік шартты басты кернеулер кеңістігінде кординатты осьтерге бірдей еңкейтілген алты қырлы призмамен көрсетіледі (оқулық [4] қараңыз). Девиаторлы жазықтықпен призманың қилысуы болып келетін илемділік шартты дұрыс алты бұрыш болып саналады.

Ең үлкен жанама кернеу ең үлкен және ең кіші басты кернеулердің жыртылай айырмасына тең болатындықтан аралық басты кернеу илемділік шартына әсер етпейді.

Жанама кернеу қарқындылығының тұрақтылық шарты. Алты қырлы призманы, оның айналасында сызылған дөңгелек цилиндрмен айырбастап мынандай Губер-Мизес илемділік шартына келеміз: . (12.21)

Девиаторлы жазықтықпен цилиндрдің қилысуы болып келетін илемділік шартты дұрыс алты қырлының айналасында сызылған шеңбер болып саналады (оқулық [4] қараңыз). Жанама кернеудің қарқындылығы мынаған тең болғандықтан:

, (12.22)

Губер-Мизес илемділік шартын мынандай түрде жазуға болады: , (12.23)

яғни осы шарт жанама кернеу қарқындылығы тұрақты болып келетін шарт болып сананалады.

Үлгілікті созған кездегі ағым шегімен таза ығысу кезіндегі ағым шегін былай салыстырайық:

. (12.24)

Жазық кернеу күйі. Жоғарыда жазылған илемділік шартын жазық кернеу күйі жағдайы үшін қарайық (σ₃ = 0). Треск-Сен-Венан шарты мынандай түрде жазылады:

σ₁σ₂ > 0 және болған кезде ;

σ₁σ₂ > 0 және болған кезде ;

σ₁σ₂ < 0 болған кезде .

Осы формулалар σ₁σ₂ координат жүйесінде координатты осьті ағым шегіне σ_s тең кесіндінімен қиып өтетін АВСДЕF алты бұрышты жазықтықты анықтайды (оқулық [4] қараңыз).

Губер-Мизес шарты σ₃ = 0 болған кезде мынандай түрді қабылдайды:

(12.25)

және алты бұрыштының айналасында сызылған эллипстің теңдеуі болып саналады.

Созатын күшпен, ішкі қысыммен және бұрау моментімен жұқа қалыңдықты цилиндрлі құбырларды сынап тәжірибелерді жүргізгенде (біркелкі жазық кернеу күйіне жақын жағдайда) Рош пен Эйхингер, А.М. Жуков және басқа зерттеушілер тәжірибелік зерттеулердің нәтижесі Губер-Мизес илемділік шартымен жақсы сәйкес келетіндігін дәлелдеді (оқулық [4] қараңыз). Сондықтан илемділік теориясын тұрғызған кезде Губер-Мизес илемділік шарты негізгі ретінде қабылданды.

«Бірлік қисық сызығы» гипотезасы. Деформацияны кішкентай деп есептеп q параметрі ретінде ығысу деформациясының қарқындылығын Г таңдайық. Осы кезде dГ/dt ≥ 0 екендігін жоромолдайық. Күйдің механикалық теңдеуін былай жазуға болады:

T = T(, Г) = μ(, Г)Г, (12.26)

мұндағы μ – температураның және ығысу деформациясы қарқындылығының кейбір функциясы.

Осымен біз мынанандай «бірлік қисық сызығы» гипотезасын қабылдадық: дененің элементіне белсенді күш түсірген кезде жанама кернеудің қарқындылығы кернеу күйінен тәуелді емес элемент температурасы мен ығысу деформациясы қарқындылығының функциясы болады.

μ(, Г) функциясын цилиндрлік үлгілікті созу немесе бұрау тәжірибелерінен табуға болады.

Сөйтіп, созған кезде сызықты кернеу күйі сұлбасын іске асыра отырып қысылмайтын материал үшін мынаны аламыз: , . Осы теңдеулерді қолданып σ – ε қисық сызығын жеңіл Т – Г қисық сызығына қайта салуға болады.

Үлгілікті бұраған кезде таза ығысу сұлбасы іске асырылады. Сондықтан мынандай теңдеулерді қолдануға болады: T = τ, Г = γ = 2ε₁₂.

Сыналатын үлгіліктің температурасын бір ізді түрлендіріп, тәжірибелік мәліметтерді өңдеудің математикалық теориясын қолданып және зерттеудің нәтижесін аппроксимациялап іздейтін функцияны аламыз.

Кішкентай серпімді-илемді деформацияның теориясы. Изотропты серпімді-илемді орта үшін кернеу мен кіші деформация арасында сызықты емес байланысты тапқан кезде (12.6) және (12.7) формулаларын пайдаланайық. Осы кезде изотермиялық процестерді ғана қарап мынаны жаза аламыз: σ_о = kΔ; (12.27)

D_σ = 2μ D_ε. (12.28)

Көлемнің салыстырмалы өзгеруі Δ = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ ылғида бастапқы қалпына келгіш (серпімді), ал (12.27) байланысы сызықтыққа жақын болатындығын тәжірибелер көрсетеді (бастапқы кеуектілігі бар ұнтақты және композитті материалдарды деформациялау процесі қазір қаралып жатқан жоқ).

Сонымен k = const қабылдауға болады. μ = μ(, Г) екендігін қабылдап және осымен «бірлік қисық сызығы» гипотезасын қабылдап илемділік деформациясы процестерін бейнелеуге мүмкіндік аламыз. Сонда кішкентай серпімді-илемді деформациясы теориясының келесі бастапқы ережесін тұжырымдауға болады:

1. Орта изотропты.

2. Орташа кернеу серпімді түрі бар салыстырмалы көлемнің өзгеруіне пропорциональды.

3. Кернеу мен деформация девиаторлары пропорциональды.

Үшінші ереженің нәтижесі болып кернеу мен деформация тензорларының басты осьтерінің сәйкес келуі және девиаторлардың басты мәндерінің пропорциональдығы саналады.

Жеке жағдайларды қарайық. Оларға мыналар жатады:

сызықты серпімді күй: μ = const;

өте жақсы илемділік күй: , сонда ; (12.29)

деформациялық беріктенген күй: T = μ(, Г)Г және = 2μ(, Г) ,

немесе ; (12.30)

серпімді күштен босату күйі:

; (12.31)

, μ = const. (12.32)

Күштен босатудың басына сәйкес келетін кернеулер мен деформацияланған күй жұлдызшамен белгіленген.

Егер температуралық өріс стационарлы болмаса, онда (12.27) теңдеуін келесі түрде жазу қажет: (12.33)

мұндағы  − температуралық ұлғаюдың коэффициенті; _о – бастапқы температура.

T = μ(, Г)Г функциясы T, Г,  кеңістігінде кейбір бетті бейнелейді (оқулық [4] қараңыз). Серпімді деформация аймағында T ≤ τ_s() осы бет сызықты бетке T = μ()Г ауысады, мұндағы μ() – температурадан тәуелді болатын ығысу модулі.

Кішкене серпімді-илемді деформациясының теориясы қарапайымға жақын күш түсірген кезде және монотонды температураны өзгерткен кезде тәжірибелік мәліметтермен жақсы дәлелденген. Қарапайым деп күш түсіргенде дененің барлық нүктелерінде кернеу тензорының сыңарлары кейбір параметрге пропорциональды өсетін күш түсіруді айтады. Олай болмайтын болса, онда күш түсіруді күрделі деп айтады. Күрделі күш түсіру үшін жақсы нәтижені тұтқырлы-илемді ағыс теориясы береді.

Тұтқыр-илемді ағыстың теориясы. Кернеу кеңістігінде П₉ дене элементінің деформация жылдамдығы жоғарлаған сайын біркелкі ұлғайатын ағым бетін ∑ салайық («ыстық» деформациялау). Осыдан кейін бет теңдеуін келесі түрде жазайық:

, (12.34)

мұндағы f −  = const болған кезде деформациялау жылдамдығын сипаттайтын кейбір параметрдің q өсетін функциясы.

Кернеу девиаторының үшінші инвариантының әсерін ескермей q параметрі ретінде ығысу деформациясы жылдамдығының қарқындылығын Н таңдап (12.34) теңдеуін орта күйінің механикалық теңдеуі түрінде былай жазайық:

T = g(, H)H, (12.35)

Соңғы теңдеуді жазған кезде келесі ғылымдық болжамды қабылдайық: илемді ағыс кезінде жанама кернеудің қарқындылығы кернеу күйінен тәуелді емес температура мен ығысу деформациясы жылдамдығы қарқындылығының функциясы болады.

Осы сызықты емес-тұтқыр ортаның теориясы аппараты көмегімен қыздырылған металдың тұтқыр беріктенуін жазуға мүмкіндік береді.

Серпімділік деформация және температуралық кернеуді илемділік деформациямен салыстырғанда аз деп қабылдап, оларды ескермейік. Осыдан кейін илемділіктің деформациялық теориясы сызықты емес серпімділік теориясын жинақтап қорытындылағандай сызықты емес тұтқырлық теориясын жинақтап қорытындылайтын тұтқыр-илемді ортаның ағыс теориясын негізгі ережелерін тұжырымдауға болады:

1. Орта изотропты және қысылмайды.

2. Кернеу мен деформация жылдамдығы девиаторлары пропорциональды:

D_σ = 2gD_ξ. (12.36)

Осыдан кернеу мен деформация жылдамдығы тензорларының басты осьтері сәйкес келетіндігі, ал сәйкесті девиаторлардың басты мәндері пропорциональды болатындығы шығады.

(12.35) теңдеуінің жеке жағдайларды қарайық. Оларға мыналар жатады:

сызықты тұтқырлы күй: g = const;

өте жақсы илемділік күй: , сонда ; (12.37)

тұтқырлы беріктенген күй: T = Т(, H) = g (, Н)Н және = 2g(, Н) , немесе

. (12.38)

Илемділік теориясының жеке вариантары: А. А. Ильюшиннің теориясынан жеке варианттар ретінде жоғарыда тұжырымдалған илемділік теориясы шығады. Осы теорияларға мыналар жатады:

Деформациялық илемділік теориясы. Жалпы теория шеңберінде қарапайым деформация процестеріне осы теорияны қолдануға болады.

Деформациялық илемділік теориясы изотроптылық постулатынан тікелей шығады. Белсенді күш түсіру процестері үшін осы теория мынандай қатнастармен көрсетіледі:

кернеу мен деформация девиаторларының пропорциональдылығы

; (12.39)

«бірлік қисық сызығы» гипотезасы

T = μ(, Г)Г; (12.40)

шарлық тензорлардың пропорциональдылығы

; (12.41)

немесе скалярлық түрде

= 2μ(, Г) , (12.42)

Күштен босатқан кезде Гуктың қорытылған заңын қолданады. Изотермиялық емес процестер үшін температурадан тәуелділік t бойынша функционалды өзгешілікке алып келеді. Бірақта сараптамада әдетте (12.40) аяққы тәуелділігін қолданады.

Тұтқыр-илемді ағым теориясы. Осы теория А. А. Ильюшиннің теориясы шеңберінде аз қисықтықты процестер теориясы болып есептеледі. Тұтқыр-илемді ағым теориясы келесі тәуелділіктерді жазуға мүмкіндік береді:

кернеу мен деформация жылдамдығы девиаторларының пропорциональдылығы

; (12.43)

деформациялық және жылдамдықтық беріктенуді ескерген «бірлік қисық сызығы» гипотезасы T = g(, Λ, Н)Н; (12.44)

кернеу мен деформацияның шарлық тензорларының пропорциональдылығы

; (12.45)

Кысылмайтын материал үшін осы қатнас скалярлық түрде мынандай түрде жазылады:

= 2g(, Λ, Н) , (12.46)

Металдарды қысыммен өңдеудің процестерін есептеген кезде айтылған теорияларды қолданудың мүмкіндігін, осы процестерде дененің барлық нүктесінде сараптамалық аз қисықтықты траектория іске асыратылатын жағдаймен дәлелдейді. Осы үшін сыртқы күштің байсалды өзгеруі жеткілікті, яғни кешігу ізі ретіндегі процесс ұзындығында түзу сызықтан сыртқы күштің траекториясының ауытқуы (сәйкесті кеңістікте), осы траекторияның болып өткен бөлімінің ұзындығынан кіші болуы қажет.

Монотонды аяққы деформациялар. Дәлме-дәл айтқанда жоғарыда қаралған А. А. Ильюшин теориясы кішкентай деформацияларға әділетті болғанына қарамай, оны аяққы илемді деформацияның теориясын дәлелдегенде негіз болатын тория ретінде қабылдауға болады. Аяққы илемді деформацияның теориясы металдарды қысыммен өңдеу процестерін бейнеленген кезде кеңінен қолданатыны белгілі. Сонда екі әр түрлі ғылымдық бағытпен жүруге болады.

Біріншісі Г. А. Смирнов-Аляев, В. М. Розенберг және олардың қызметтестерінің еңбектерінде дамытылған бағыт болып саналады. Осы бағыт кіші серпімді-илемді деформацияның деформациялық теориясын қорытындылайды.

Егер логарифмдық деформация тензорының басты осьтерінде орналасқан барлық материальды бөлшектер, элементарлы материальды көлемнің пішін өзгертуінің барлық болып өткен процестерінде осы осьтерде орналасқан болса, онда анықтама бойынша элементарлы материальды көлемнің деформациясы монотонды деп аталады. Бірақта осы осьтер байқаушының координат жүйесіне қатысты өзінің бағытын өзгертуіде мүмкін.

Осымен бірге, элементарлы материальды көлемнің деформациясы монотонды болуы үшін Лоде параметрі

(12.47)

берілген материльды көлемнің пішін өзгерту процесінде өзгермейтін болып қалуы қажет етіледі. Осы шарттардың біреуі ғана сақталмаған жағдайда деформация монотонды емес болып саналады.

Монотонды деформацияның мысалы болып түзубұрышты параллелепипедтің біркелкі деформациясы саналады. Осы жағдай үшін логарифмдік деформация шексіз кішкентай деформацияларды қосудың нәтижесі болатындығын біз жоғарыда көрсеттік. Осымен байланысты логарифмдік деформацияны жиі дәл деформация деп атайды.

Осыған ұқсас түрде, еркін элементарлы көлемнің монотонды деформацияларынан пайда болған логарифмдік деформацияларды пішін өзгертудің жеке кезеңдеріне сәйкес келетін шексіз кішкентай басты деформацияның қосындысы ғып санауға болатындығы дәлелденген. Осындай логарифмдік деформацияның уақыт бойынша туындасы деформация жылдамдығы тензорының басты сыңарларына тең, ал ығысу деформациясының қарқындылығы

(12.48)

мынандай формаламен анықталатын: ығысу деформациясының дәрежесімен сәйкес келеді. Мұнда уақыт бойынша интегралдау көлем элементінің қозғалу траекториясының бойымен орындалады.

Кішкентай серпімді-илемді деформацияның (12.27), (12.28) қатнастарын жазып және шексіз кішкентай деформацияларды қосуды орындап, монотонды деформациялаған кездегі аяққы деформация теорисының теңдеулеріне келеміз. Осындайда теорияның негізгі ережелері келесідей болады:

1. Орта изотропты.

2. Орташа кернеу серпімді түрі бар көлемнің салыстырмалы өзгеруіне пропорциональды, яғни

, k = const. (12.49)

3. Кернеу девиаторы және логарифмдік деформацияның девиаторы пропорциональды, яғни

. (12.50)

Материалдың нақты қасиеті «бірлік қисық сызығы» гипотезасы шеңберінде мынандай тәуелділікпен бейнеленеді:

μ = μ(, Λ). (12.51)

Соның ішінде, сызықты серпімді күй үшін мына теңдікті жазған дұрыс: μ = const.

Нақты илемді күй үшін теңдеуді мынандай түрде жазады: , және де

, (12.52)

мұндағы − логарифімдік деформациясы девиаторының сыңарлары; s_i – кернеу девиаторының басты сыңарлары.

Деформациялық беріктенген кезде мынаны жазуға болады:

Т = μ(, Λ)Λ (12.53)

және

s_i = 2μ(, Λ) . (12.54)

Мұралық беріктенетін ортаның тұтқырлы-илемді ағыс теориясы. Металдарды қысыммен өңдеген кезде денені монотонды деформациялаудың мүмкіншілігі бүгінгі күнге дейін толық дәлелденбеген. Сірә, дененің ең кернеулі бөлімдерінің деформациясын жуықты түрде монотонды деп санауға болатын процестердің кейбір кластарын бөлуге болады. Тым жалпы жағдайдағы металдар мен қорытпалардың аяққы пішін өзгертуінің шеттік есебін шешкен кезде, соңғы жылдары тұтқыр-илемді ағыс теориясын қорытындылайтын теория кеңінен қолданылып келеді. Осы теорияда тұтқыр және деформациялық беріктену, температураның біркелкі таралмауының әсері, материалдың мұралық қасиеті ескеріледі. Ұнтақты материалдарды деформациялау процесін талдаған кезде көлемнің кері айналмайтын илемді өзгеруін ескереді. Осы кезде мөлшері бойынша илемді деформациямен салыстырғанда өте кішкентай деп серпімді деформацияны ескермейді.

Дененің бастапқы күйін деформацияланбаған, ал бастапқы кернеуін нөльге тең деп санап, байқаушының физикалық үш өлшемді кеңістігінде кейбір траектория бойымен элементарлы материальды көлемнің қозғалысын қарайық.

Деформациялаудың тарихын бейнелеген кезде тәуелді емес параметр ретінде t уақытын және осы уақытпен бір қатарлы байланысқан кейбір параметр λ (мысалы, ығысу деформациясының дәрежесі Λ) алайық.

t уақытысындағы көлемнің салыстырмалы өзгеруін былай есептейік:

. (12.55)

Тығыз байланыс теңдеуін қолдана отырып , Δ мөлшерін тығыздықтың өзгеруімен былай байланыстырайық: , (12.56)

мұндағы ρ₁ – бөлінген элементің бастапқы тығыздығы.

Осаған ұқсас уақыт бойынша траекторияның бойымен интегралдаумен ығысу деформациясының дәрежесі былай табылады: .

Δ және Λ мөлшерлері анықтаушы теңдеулерді жазған кезде қолданылатын болады.

Мұралық беріктенетін ортаның тұтқырлы-илемді ағыс теориясының негізгі ережелерін келесі түрде тұжырымдайық:

1. Орта изотропты;

2. Орташа кернеу көлемнің салыстырмалы өзгеруіне пропорциональды, яғни

; (12.57)

3. Кернеу девиаторы деформация жылдамдығының девиаторына пропорциональды, яғни . (12.58)

Күйдің механикалық теңдеуі келесі түрге ие болады:

(12.59)

(12.60)

яғни (12.57) және (12.58) теңдеулері жалпы жағдайда сызықты емес. Осы кезде k және g уақыттан тәуелділігі салыстырмалы күрделі түрге ие болатындығы жорамалданады.

Сонымен бірге кейбір жағдайда мынандай мұралық теорияның теңдеулерін қолдану қажет: (12.61)

(12.62)

мұндағы өзектерімен φ және ψ функциялары элементарлы көлемнің деформациясымен байланысты уақытпен беріктенуді материалдың ұмыту қаблетін, ал тағы да термодинамикалық тым тұрақтылық күйге өте отырып қақталата жабысу процесінде кеуектілікті өзгертуді бейнелейді.

k және g функцияларын анықтаудың принципті мүмкіншілігі макроскопикалық анықталатындықтан шығады. Феноменологиялық тәуелділіктерді салудың негізгі тәсілі болып М үлгілікке күш түсіру бойынша тәжірибелік зерттеулер жүргізу саналады. Осы тәжірибелер пластометрде және газстаттарда (ұнтақтарды деформациялаған кезде) жүргізіледі.

Ықшамды материалдарды деформациялаған кезде . Осы көлемнің өзгеруін ескермеуге мүмкіншілік береді. Осы кезде күйдің бір механикалық теңдуі (12.60) ғана қалады, ал теорияның негізгі ережелері тұтқыр-илемді ағым теориясының ережесімен сәйкес келеді.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 6, бет 144 – 175); [4]: (тарау 6, бет 221 – 271).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 5, бет 71 – 88).

Бақылау сұрақтары:

1. Илемділік беті қандай қасиеттерге ие болған?

2. Илемділік қисық сызығы дегеніміз не? Қандай қасиетке ол ие болған?

3. Сізге белгілі илемділік шарттарында илемділік қисық сызықтары қандай пішінді алады?

4. Кіші серпімді-илемді деформация теориясында «бірлік қисық сызығы» гипотезасы қалай айтылады?

5. Тұтқыр-илемді ағыс теориясында «бірлік қисық сызығы» гипотезасы қалай айтылады?

6. Кіші серпімді-илемді деформация теориясының негізгі ережелерін қалай тұжырымдауға болады?

7. Тұтқыр-илемді ағыс теориясының негізгі ережелерін қалай тұжырымдауға болады?

8. Деформацияланатын денеге қандай күш түсіруді қарапайым деп атайды?

9. Тұтқыр-илемді теориясының негізгі жайларын деформациялар өсімшесімен тұжырымдауға бола ма? Қалай оны жасауға болады?

10. Қандай кеңістікте күш түсіру процесінің бейнесі қаралады?

11. Изотроптықтың постулаты қалай айтылады?

12. Элементарлы көлемнің қандай деформациясы монотонды деп аталады?

13. Қандай әсерді беріктенетін ортаның тұтқыр-илемді ағыс теориясы ескеруге мүмкіндік береді?

14. Материальды элементің айналасындағы көлемнің өзгеруін қалай санауға болады?

15. Ығысу деформациясының дәрежесі қалай есептеледі?

№13 дәріс. Көлемдік кернеу күйі үшін тепе-теңдік шартары. Кернеу-деформация күйлерінің жеке сұлбалары.

Күш түсірілген және тепе-теңдікте болатын денедегі кернеулердің мөлшері жалпы жағдайда нүктеден нүктеге үздіксіз өзгереді, яғни кернеулер координаттың үздіксіз функциялары болады. Координатты жазықтықтарға параллельді қырлары бар элементарлы параллелепипедті кернеулі денеден бөліп алайық (13.1 сурет). Осы параллелепипедтің тепе-теңдігін қамтамасыз ететін қандай жағдайлар бар екендігін айқындайық.

13.1 – сурет. Декарттық координаттарда әсер ететін кернеулер

х, у, z координатасы бар керенеуленген нүктелердің біреуі (мысалы а нүктесі) abcd, adb^´c^´ және ac^´db^´ параллелепипедтің қабырғаларымен бейнеленетін болсын. Екінші а^´ нүктесі а нүктесінен шексіз кішкентай ара қашықтықта тұрсын және осыған сәйкесті екінші нүктенің координатасы мынандай болсын: х + dx, у + dy және z + dz. Осы а^´ нүктесі a^´b^´c^´d^´ , a^´d^´bc және a^´cd b^´ параллелепипед қабырғаларымен бейнеленсін. Параллелепипед қырларының өлшемдері dx, dy және dz тең екендігі түсінікті.

а нүктесінің кернеу күйі мынандай тензормен анықталатын болсын:

.

а^´ нүктесіндегі кернеулер а нүктесіндегі кернеулерден шексіз кішкентай мөлшерлермен айырмашылықта болады. Жоғарғы ретті шексіз кішкентай мүшелерді ескермей, әрбір кернеудің өсімшесін берілген кернеудің әсер ету алаңшасы қозғалған координат бойынша жеке дифференциалмен білдіруге болатындығын қабылдайық, яғни кернеу адресі көрсеткіші көрсететін координат бойынша. Онда а^´ нүктесі үшін кернеу тензоры мынандай болады:

.

Параллелепипедтің қабырғасына әсер етуші күштер кернеудің кернеу адресі көрсеткіші көрсететін сәйкесті қабырға ауданына көбейтумен табылатындығы белгілі.

Кординат осьтеріне барлық күштердің проекциясының қосындысын алып және осы қосындыларды нөльге теңеп тепе-теңдік шартын құрастырамыз.

х (х₁) осіне барлық күштер проекциясының қосындысы мынаған тең:

Жақшаларды ашып және dxdydz қысқартып мынаны аламыз: .

Жоғарыда жазылғанға ұқсастырып у (х₂) және z (х₃) осьтеріне проекциялар қосындысын жаза аламыз. Нәтижесінде мынаны аламыз:

(13.1)

Сөйтіп біз көлемдік кернеу күйі үшін жеке туындылары бар дифференциальдық теңдеулер түрінде тепе-теңдік шартын алдық.

Осы шарттар деформацияланатын дененің барлық нүктелері үшін міндетті.

Кернеулер дененің көлемі бойынша өзгереді және олардың бетке шығатын элементтердегі мөлшері беттік қабырғаға әсер ететін сыртқы күштермен теңесуі керек, яғни беттік немесе қарамдағы шарттарды қанағаттандыру қажет.

Дененің бетіне шығатын шексіз кішкентай элементердегі кернеулерді (13.1) теңдеуін қолданып сыртқы күшпен байланыстыруға болады. Расында да жалпы жағдайда дене бетінің элементарлы бөлімін элементарлы тетраэдрдің еңкіш қабырғасы сияқты қарауға болады.

Тепе-теңдіктің үш дифференциальдық теңдеуі (13.1) алты белгісізді (жанама кернеулер жұп болып бір-бірімен тең болатындығын ескерген кезде) құрамына кіргізеді. Демек, оларды шешу үшін қосымша теңдеулер талап етіледі. Сөйтіп көлемдік есеп жалпы жағдайда статикалдық шешілмейтін болып есептеледі.