11.1 Реологиялық модельдер

Реология туралы. Анықтайтын теңдіктердің жалпы теориясын жасау тұтас орта механикасының маңызды бөлімі болып саналатын реалогияның ең негізгі міндеттері болып есептеледі (рео – ағу грек сөзі, материальдардың ағысы туралы ғылым). Реология мынандай сұраққа жауап беруі қажет: белгілі деформациялау (күш түсіру) процестерінде t уақыт мезгілінде берілген материальды бөлшек айналасында қандай кернеулер (деформациялар) пайда болады. Дәлірек айтсақ реология мынандай функционалдар түрін анықтайды:

немесе .

Осы функционалдар әр түрлі тұтас ортаның термомеханикалық қасиеттерін бейнелейді. Осындай есептерді шығару, заттардың іс жүзіндегі термомеханкалық қасиеттерін бейнелеуге мүмкіндік беретін көптеген зерттеу тәжірибелерін және реологиялық модельдерді жасауды қажет етеді.

Зерттеу тәжірибелеріне көңіл бөлейік. Материалдардың маңызды және әдеттегі қасиеттерін цилиндрлік үлгіліктерді созу тәжірибесі бойынша табуға болады. Біркелкі кернеулер мен деформациялар күйін үлгіліктің ортанғы бөлімінде алу мақсатымен дөңгелек цилиндрлік үлгіліктің есептеу ұзындығын l_о оның диаметрінен d_о бес немесе он рет үлкен болатын етіп жасайды.

Әдетте, сынау үшін алдыңғы созу диаграммасын автоматты түрде салуға мүмкіндік беретін үзілу машиналарын қолданады. Осы диаграммада ординат осі бойымен күш Р-ны, ал абсцисса осі бойымен күшке сәйкес келетін ұзаруды (Δl) салады.

Шартты және дәл кернеулер диаграммасы (11.1 - сурет). Координаталары Р – Δl болатын созу диаграммасының түрі материалдардың тек қасиетінен ғана емес, ал тағы да тәжірибе жасайтын үлгіліктің өлшемінен өте үлкен тәуелді болады. Материалдардың тек механикалық қасиетін сипаттайтын диаграмманы алу үшін алдыңғы созу диаграммасын координатасы σ – ε болатын диаграммаға қайта есептейді. Осы диаграмманың ординатасын созатын күш Р-ны сынайтын үлгіліктің бастапқы көлденең қимасы ауданына бөліп табады, яғни .

Кернеу диаграммасының абсциссасын үлгіліктің есептеу бөлімінің абсолютті созылуын, осы үлгіліктің бастапқы ұзындығына бөліп анықтайды, яғни .

Осындай әдіспен табылған кернеу мен деформацияның арасындағы байланыс графигі үлгілікті созған кезде өзгеретін көлденең қиманың ауданын есепке алмайды. Сондықтан осы график кернеудің шартты диаграммасы деп аталады. Жоғарыда айтылған диаграммадан айырмашылығы бар болатын дәл кернеу диаграммасын салғанда, созған кезде өзгеретін үлгіліктің көлденең қимасының ауданын есепке алады. Дәл кернеу диаграммасын салған кезде күш Р-ны созғанда өзгеретін көлденең қиманың сәйкесті ауданы Ф-ға бөледі.

11.1 суретінде төмен көміртегілі болаттар үшін шарты (тұтас сызық) және дәл (сызықша сызық) кернеулер диаграммасы келтірілген. Әрбір сызықта А, В, С, D, Е, F сияқты бір қатар ерекше нүктелердің бар екендігін айтып кетуге болады. Бастапқы ОА бөлімде диаграмма еңкейген түзу сызық түрінде көрсетіледі. Осы шекте кернеу (σ) деформацияға (ε) пропорционалды өседі, яғни мынандай Гук заңы сақталады: σ = Еε, мұндағы Е – үлгілікті созған кездегі серпімділік модулі.

Гук заңы пропорционалдықтың шегіне (σ_пц) дейін дұрыс болады.

Диаграмма А нүктесінен жоғарғы жақта қисаяды, осы кезде Гук заңы бұзылады. Бірақта серпімділік шегіне (σ_уп) сәйкес келетін В нүктесіне дейін үлгіліктің деформациясы серпімді болып қалады және күшті алған кезде толық жоғалып кетеді. Нүктелер А мен В-ның арасы өте жақын, сондықтан оларды көп жағдайда сәйкес келеді деп санайды. Егер В нүктесі арқылы тік сызықты сызса, онда бұл сызықтың сол жағында серпімді деформациясының аймағы, ал оң жағында серпімді-илемді деформацияның аймағы бар болады. Өйткені серпімділік деформциясымен бірге күшті алғаннан кейін үлгілікте қалатын илемді деформацияға орын бар болады.

Диаграммада С нүктесінен басталатын көлденең бөлім пайда болады. Бұл бөлім ағым шегі (σ_s) деп аталады. Осы бөлімде күш ұлғаймай деформация үлкейіп отырады. Материал аққан сияқты болады. Сондықтан СD бөлімін жиі ағым ауданы деп атайды.

Көптеген материалдарда ағым ауданыны жоқ болады, яғни көптеген жағдайларда материалдарды созуға сынаған кезде СD ауданы байқалмайды және созу диаграмасы суретте көрсетілген қисық сызық түріне ие болады. Бұл жағдайда ағым шегін σ_s шартты түрде табады.

11.1 суретке қайта оралайық. Материал D нүктесінен бастап деформацияға кедергісін үлкейтеді. Бірақта үлгілік созылған кезде күштің үлкею серпімділік бөлімімен салыстырғанда өте кішкентай болады. Диаграмма жатық қисық сызықпен өзгеріп Е нүктесіне жетеді. Диаграмманың осы Е нүктесінде шартты кернеу ( ) ең үлкен мөлшерге жетеді. Осы мөлшер уақытша кедергі σ_в деп аталады.

Диаграммада Е нүктесіне жеткеннен кейін үлгілікте болашақта үзілетін орын белгіленеді және мойын, яғни үлгіліктің жергілікті тарылуы пайда болады. Үлгіліктің көлденең қимасы кішірейгендіктен диаграммада шартты кернеу азаяды. Бірақта, егер мойынның ең кішкентай қима ауданына қатысты етіп дәл кернеуді есептесе, онда үзілу уақытысына дейін ( нүктесі) кернеудің өсуі байқалады.

Мойынның пайда болуы, осы мойындағы қимадан қимаға және әрбір қимада деформацияның біркелкі еместігімен қошталатындығын айта кету қажет.

Жүктен босату және қайтадан жүктеу. Шарты диаграмманың К нүктесіне жеткеннен кейін зерттейтін үлгілікке беретін күшті азайтайық. Күштен босатқан кезде σ – ε байланысы КL түзу сызығымен көрсетіледі. Айтылған КL сызығы ОА сызығына параллельді болады. Серпімді-илемділік деформация аймағында күштен босатқан кезде деформация толық жоқ болып кетпейді. Осы деформация серпімді бөлімі мөлшеріне (LМ кескіні) азайады. Қалдық немесе илемділік деформациясын ОL кескіні көрсетеді.

Үлгілікті қайта жүктегенде созу диаграммасы LК түзуінің түрін қайта алады, ал ары қарай КЕF қисық сызығының үстімен жүреді. Сонымен металл бірінші деформацияның себебінен серпімділік қасиетін алады және серпімді шегі үлкейеді. Осымен бірге илемділік деформация қасиеті біраз төмендейді. Бұл құбылысты беріктену деп атайды. Цилиндрлік үлгілікті қысқанда немесе бұрағанда осы сияқты кернеу диаграммасын алуға болады.

а - ағым алаңы бар; б – ағым алаңы жоқ

11.1 – сурет. Материалдың кернеулер диаграммасы

Деформация жылдамдығының әсер етуі. Кернеу диаграммасына деформация жылдамдығының әсер етуі температурамен тығыз байланысты болады. Бұның себебі _р температурасында (балқудың абсолюттік температурасының 0,4 жуықты тең болатын) және одан жоғары температурада деформацияланған металда белгілі бір жылдамдықпен рекристаллизация процесі жүреді. Бұл процесте жаңа түйіршіктер пайда болады және поликристалдың бір кристалдық түйіршіктері басқа түйіршіктерді пайдаланып өседі. Рекристаллизация процесінде металдар термодинамикалық тұрақты күйге өтеді.

Осы процесті үш сатыға бөледі. Бірінші сатысында деформацияланған поликристалда жаңа кристалдық түйіршіктер пайда болады. Осы түйіршіктер деформацияланып бұрмаланған түйіршіктерді сіңіру арқылы өседі. Екінші сатысын жинақтаушу рекристаллизация деп атайды. Жинақтаушы саты жүрген уақытта бұрмаланған түйіршіктердің біреулері басқалары арқылы үлкейеді. Осының себебінен түйіршіктердің орташа мөлшері үлкейеді. Үшінші сатыда мөлшерін үлкейтуді кейбір жеке түйіршіктер ғана көрсетеді. Осының әсерінен металдың құрылымында әр түрлі өлшемі бар түйіршіктер пайда болады.

Рекристаллизация металл құрылымының кемістігін жойады, металдың илемділік қасиетін үлкейтеді, деформацияға дейінгі қасиеттерін және текстураны қалпына келтіреді.

Сонымен, рекристаллизация температурасынан жоғарғы температурада қыздырылған дайындаманы илемді деформациялаған кезде (осындай деформацияны «ыстық» деп атайды) беріктенумен қатар беріксіздендіру процестері жүреді. σ – ε диаграммасы сызықтарының түрлері осы екі процестер жылдамдықтарының ара қатысымен тығыз байланысты. Егер деформация жылдамдығы үлкен болса, онда беріксіздендіру процесінің ықпалы аз болады. Бұл кезде материал тұтқырлы қасиет көрсетеді. Серпімді-илемді деформация аймағында деформация жылдамдығы өскен сайын кернеу үлкейеді. Қарапайым жағдайларда мынандай сызықтық байланыс пайда болады: σ = σ_s + , мұндағы   тұтқырлық коэффициенті. Егер σ_s = 0 болса, онда сызықты-тұтқырлы материалға келеміз (Ньютон ортасы). Сонымен материалдың температурасымен байланыстыра отырып илемділік деформациясы туралы мынаны айтуға болады: металдың «ыстық» деформациясы (  _р); металдың «суық» деформациясы (  _р); металдың жылы деформациясы (  _р).

Температураның және деформация жылдамдығының кернеу диаграммасына әсер етуін әдейілеп жасалған сынау машинасын (пластометр) қолданып зерттейді. Осы машинада дайындаманы қысқанда немесе созғанда деформация жылдамдығын тұрақты ғып зерттеу жүргізуге жағдай жасалынады.

Қарапайым реологиялық модельдер. Цилиндрлік үлгіліктерді созу тәжірибелерінің нәтижелерін қарай отырып біз материалдардың мынандай қасиеттерін айыттық: серпімділік, тұтқырлық, илемділік. Сыртқы күш әсер еткенде тұтас ортаның көрсететін ерекше қасиеттерін жоғарыда айтылған үш іргетасты қасиеттерді қисындастыру арқылы көрсетуге болады.

Осыған байланысты кейбір дәріптелген ортаның жүріс-тұрысын механикалық элементермен шарты түрде бейнелеп суреттейтін қарапайым реологиялық моделдерді енгізген дұрыс. Бұрынғыдай сызықтық кернеу күйін қарайтын боламыз (сырықты созу). Мынандай белгілеуді енгізейік: σ – тиісті кернеу; ε – салыстырмалы ұзару;  = dε/dt – салыстырмалы ұзарудың жылдамдығы.

Сызықты-серпімді ортаның моделі Гук заңына былай бағынады:

σ = Еε. (11.1)

Осы модельді шарты серіппе түрінде бейнелейтін боламыз (11.2, а сурет).

Сызықты-тұтқырлы ортаның моделін мынандай Ньютонның тұтқырлық заңымен көрсетуге болады:

. (11.2)

Осы модельді цилиндрдің ішінде қозғалатын поршень түрінде бейнелеуге болады. Айтылатын нәрсе, ол цилиндрдің іші тұтқырлы сұйықпен толып тұрғаны және тұтқырлы сұйықтың поршень мен цилиндрдің қабырғасы арасындағы саңлаудан шығатыны (11.2, б сурет).

а – сызықты-серпімді орта; б – сызықты-тұтқырлы орта; в - қатаң-өте жақсы-илемді орта

11.2 – сурет. Ортаның реологиялық модельдері

Қатаң-илемді ортаның моделін бейнелегенде ағым шегінен төменгі кернеуде дефоромация жоқ деп есептейтін боламыз, яғни ағым шартын қанағаттандыратын кернеуде илемді ағыс бар деген шешімді қабылдаймыз, яғни

σ = σ_s. (11.3)

Осы модельді жазықтықта тыныш тұрған салмақ түрінде көрсетеміз (құрғақ үйкеліс элементі, 11.2, в суреті).

Енді қарапайым түрде қиыстырылған модельдерді қарауға көшейік. Серпімді және илемді элементерді тізбекпен қосайық. Қорытындысында серпімді-илемді ортаның моделін аламыз. Осы ортаның σ – ε диаграммасы 11.3 суретінде көрсетілген.

Осы жағдай үшін жалпы деформация мынандай екі бөлімнен тұрады:

ε = ε^е + ε^р. (11.4)

мұндағы ε^е – серпімділік деформациясы; ε^р – илемділік деформациясы.

Үлгіліктен күшті алған кезде серпімділік деформациясы жоқ болады, ал илемділік деформациясы қалады. 11.4 суретте сызықты беріктенетін қатаң-илемді ортаның, ал 11.5 суретте сызықты беріктенетін серпімді-илемді ортаның σ – ε диаграммалары келтірілген.

11.3 – сурет. Серпімді-өте жақсы-илемді ортаның моделі

Серпімді және тұтқырлы элементерді тізбекпен қосайық (11.6 сурет). Деформация жылдамдығы  = dε/dt төмендегідей серпімділі құрамның және тұтқырлы құрамның қосындысынан тұрады:

. (11.5)

Жоғарыда жазылған теңдеу Максвелдің серпімді-тұтқырлы орта моделіне сәйкес келеді. Осы ортаның кейбір қасиеттерін қарайық. Кернеу тұрақты болсын (σ = const). Онда = 0 және материал тұтқыр сұйық сияқты ағады.

Енді үлгіліктің екі жағында бекітейік және t = 0 уақытысында кернеуді осы үлгілікке түсіріп деформацияны анықтайық. Бұл жағдайда dε/dt = 0 болғандықтан жоғарыда жазылған теңдікті мынандай түрмен жазуға болады: .

11.4 – сурет. Сызықты беріктенетін қатаң-илемді ортаның моделі

11.5 – сурет. Сызықты беріктенетін серпімді-илемді ортаның моделі

Соңғы теңдеуден мынаны алуға болады:

, (11.6)

мұндағы мөлшерін релаксация уақыты деп атайды. Релаксация уақыты дегеніміз бастапқы кернеудің е = 2,718 рет азайуына кететін уақыт. Сонымен Максвелл ортасының моделі нақты дененің маңызды қасиеттерін бейнелеуге мүмкіндік береді. Бұл қасиет бойынша өзгермейтін деформацияда кернеу экспоненциальды заңмен азайады.

11.6 – сурет. Максвелдің серпімді-тұтқырлы ортасы

Серпімділі және тұтқырлы элементерден тұратын параллельді құраманы талдауға көшейік (11.7 сурет). Осы модельді серпімді-тұтқырлы Фойгта ортасы деп атайды. Сірә, кернеу төмендегідей серпімділі σ^е = Еε және тұтқырлы құрамның қосындысынан тұрады:

. (11.7)

(11.5) теңдеунен айырмашылықта болатын (11.7) теңдеуі релаксация процесін сипаттамайды. Оның себебі деформация тұрақты болғанда (ε = const) кернеуде тұрақты болады, ал орта серпімді сияқты болады. Егер кернеу тұрақты болса, онда деформация мынандай заңдылықпен бірқалыпты өседі:

. (11.8)

Осылай өскен кезде деформация σ/Е мәніне ұмтылады, яғни жылжыпсырғымалылық пайда болады.

11.7 – сурет. Фойгта серпімді-тұтқырлы ортасы

Тұтқырлы және илемді қасиеттерден тұратын модельді қарайық. Бірінен кейін бірі қосылған екі элемент (тұтқырлы және илемді) тұтқырлы-илемді орта моделіне алып келеді. Егер σ  σ_s болса, онда осы модель сызықты-тұтқырлы ортаның қасиеттеріне ие болады, ал егер σ = σ_s болса, онда ол өте жақсы илемді дене сияқты ағады.

Тұтқырлы және илемді элементерді параллельді қосқанда да тұтқырлы-илемді ортаны алады (Шведов-Бингмен ортасы). Осы ортаның қасиеттерін мынандай теңдікпен жазуға болады:

(σ ≥ σ_s болған кезде) (11.9)

Егер σ  σ_s болса, онда деформация жоқ деп есептейді.

Материалдарды әр түрлі температурада бір осьті жағдайда созып сынау жанама кернеулер қарқындылығы мен ығысу деформацияларының қарқындылығы арасында Т = Т(Г) және жанама кернеулер қарқындылығы мен деформация жылдамдықтарының қарқындылығы арасында Т = Т(Н) байланыстар диаграммаларын алуға мүмкіндік береді (оқулық [4] қараңыз). Осылай созған кезде қысылмайтын материал үшін сызықтық кернеу күйінің сұлбасын іске асырып мынаған ие боламыз: , , . Жазылған формулаларды қолданып σ  ε немесе σ   қисық сызықтарын Т = Т(Г) немесе Т = Т(Н) қисық сызықтарына жеңіл ауыстыруға болады.

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 6, бет 142 – 175); [4]: (тарау 6, бет 221 – 271).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 5, бет 71 – 88).

Бақылау сұрақтары:

1. Реология дегеніміз не?

2. Осы реалогия ғылымы қандай сұрақтарды оқып зерттейді?

3. Қандай қарапайым реологиялық модельдерді Сіз білесіз?

4. Жылжыпсырғымалылық дегеніміз не?

5. Кернеудің релаксациясы дегеніміз не?

№12 дәріс. Серпімділік және тұтқырлық. Илемділік.

Көлемдік кернеу күйі. Біз қарапайым реологиялық модельдерді қарап шықтық (сызықты-серпімділі, сызықты-тұтқырлы, қатаң-илемді және т.б.). Ортаның қасиеттерін сипаттайтын бұл теңдеулер сызықтық кернеу күйінің жеке жағдайларына жатады.

Көлемдік кернеу күйі кезінде осы орталардың жүріс-тұрысын бейнелейтін жалпы байланыстарға ауысқан кезде кернеулер, деформациялар және деформациялар жылдамдықтары арасындағы байланыстарды анықтау қажет, ал тағы да илемділік шартын жазу керек. Табылған байланыстар сызықтық кернеу күйіне ауысқан кезде жоғарыда зерттелген байланыстарға алып келуі қажет, ал жалпы жағдайда анықтаушы теңдеулер теориясының негізгі принциптерін орындау керек және тәжірибемен жақсы сәйкес келуі қажет.

Екі симметриялық тензорлардың функциональды байланыстарының мүмкін болатын түрін айқындайық.

Айтылған тензорлардың біреуі ретінде кернеу тензорын Т_σ (σ кернеулеріне сәйкес келетін) қабылдайық. Екінші тензордың ролін деформация тензоры Т_ε (ε деформацияларына сәйкес келетін) немесе деформация жылдамдығы тензоры (ξ деформация жылдамдықтарына сәйкес келетін) орындайтын болады.

Сызықты-серпімді орта. Кернеулер мен деформациялар арасындағы сызықтық изотропты байланыста мынандай түр бар болады: (12.1)

немесе скалярлы түрде , (12.2)

мұндағы Δ = 3ε_о = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ – көлемнің салыстырмалы өзгеруі.

Осы теңдеуді Гуктың қорытынды теңдеуі деп айтады. Айтылған теңдеу сызықты-серпімді ортаның жүріс-тұрысын бейнелейді. Тұрақты мөлшерлерді (λ және μ) Лямэнің серпімді тұрақтысы деп айтады.

Көрсетілген қатнастарды оларға эквиваленті түрде жазып Гук заңының мынандай екінші түрін аламыз: σ = kΔ, (12.3)

D_σ = 2μD_ε. (12.4)

коэффициентін көлемдік қысудың модулі деп айтады.

Сонымен, сызықты-серпімді орта үшін орташа кернеу көлемнің салыстырмалы өзгеруіне пропорцональды, ал кернеу девиаторы деформация девиаторына пропорцональды.

Сызықты кернеу күйі жағдайына қайта оралайық. Мынаны негізге алып:

, (12.5)

(12.2) теңдеуінен төмендегідей түрде Гук заңын аламыз: . Таза ығысу болған жағдайда Гук заңы былай жазылады: . Сондықтан μ коэффициенті материалдар кедергісі пәнінен жақсы белгілі ығысу модулі болады.

Сызықты емес-серпімді орта. Егер серпімді материал Гук заңына бағынбайтын болса, онда сызықты кернеу күйі болған кезде σ – ε байланысы сызықты емес функция σ = f(ε) түрін алады (12.1, а сурет). Осындай жағдайда күшті түсіргенге және күштен босатқанға бір ақ қисық сызық ОА сәйкес келеді. Күштен босатқаннан кейін деформация нөльге тең болады. Бұндай материалды сызықты емес-серпімді деп атайтын боламыз.

а – сызықты емес-серпімді орта; б – серпімді емес орта

12.1 – сурет. Серпімділік және серпімділік емес

Серпімді емес материал үшін күшті түсіру (ОА қисық сызығы) мен күштен босату (АВ қисық сызығы) заңдары әр түрлі ( 12.1, б сурет). Күштен толық босатқан кезде денеде қалдық илемді деформация бар болады.

Көлемдік кернеу күйіне өте отырып кернеу мен деформация арасында сызықты емес изотропты байланысты орнату үшін оқулық [1, 4] келтірілген теңдеулерді қолданайық. Нәтижесінде Гук заңын қорытындылайтын мынандай байланыстарды аламыз.

σ_о = kΔ; (12.6)

D_σ = 2μ (Г) D_ε. (12.7)

Мұндағы k = const, ал μ(Г) функциясы өзгермелі ығысу модулі болып саналады. Әрі оқулық [1, 4] келтірілген формуладан мынандай күйдің механикалық теңдеуі келіп шығады:

Т = μ (Г) Г. (12.8)

Нақты материалдар үшін мынандай орнықтылық шарты орындалады: dТ/dГ > 0.

Сөйтіп, бұрынғысынша сызықты емес-серпімді орта үшін кернеу мен деформация арасында бір қатарлы байланыс бар деп есептейміз. Осы байланыста орташа кернеу мен көлемнің салыстырмалы өзгеруі арасында, ал тағы да D_σ және D_ε девиаторлары арасында пропорциональды байланыс бар болды. Бірақта соңғы байланыс сызықты емес түрді алады және (12.8) күй теңдеуімен анықталады.

Сызықты-тұтқырлы орта. Сызықты-тұтқырлы ортаны зерттеуге өте отырып орташа кернеу σ_о деформация жылдамдығынан тікелей тәуелді емес қысымнан (-р) және көлемдік деформацияның жылдамдығына пропорциональды қосымша кернеуден тұрады деп былай болжайық:

. (12.9)

Оқулық [1, 4] келтірілген байланысты пайдалана отырып және , ал болсын дегенді негізге алып Ньютонның гипотезасын қорытындылайтын мынандай теңдеуді аламыз:

. (12.10)

Осы теңдеу скалярлық түрде былай жазылады:

. (12.11)

және коэффициентерін тұтқырлық коэффициентері деп атайды. Бұл коэффициентер деформация және деформация жылдамдығынан тәуелді болмағандығынан тұтқырлық тұрақтысы деп аталады. Бірақта осы коэффициентер температурадан тәуелді болуы мүмкін.

Жоғарыда жазылған теңдеулерді жазудың басқаша түрі мынандай:

; (12.12)

. (12.13)

тұрақтысын көлемдік тұтқырлықтың коэффициенті деп атайды.

Егер орта қысылмайтын болса, онда = 0 және (12.12), (12.13) теңдіктері кернеу және жылдамдық девиаторларының пропорциональдық жағдайына келтірілінеді.

Соңында, егер тұтқырлық коэффициентері және нөльге тең болса, онда мынаны аламыз: , (12.14)

яғни кернеу тензоры шар тензорымен сәйкес келеді, ал кернеу девиаторы нөльге тең болады. Осы өте оңды сұйықтың негізгі қасиеті.

Сызықты емес-тұтқыр орта. Енді кернеу мен деформация жылдамдықтары арасындағы сызықты емес изотропты байланысты қарайық. Сызықты тұтқырлықтың заңдарын қорытындылайтын байланыстарда мынандай түр бар:

; (12.15)

. (12.16)

мұндағы k^' = const, ал μ^'(, Н) функциясы өзгермелі ығысу модулі болып саналады. Соңғы коэффициент температурадан және ығысу деформациясы жылдамдығы қарқындылығынан тәулді болады.

Сызықты емес-тұтқырлы орта күйлерінің механикалық теңдеуінде келесі түр бар болады: . (12.17)