18. Векторы на плоскости и в пространстве

19. Векторное пространство и его простейшие свойства.

20. Размерность и базис векторного пространства.

Векторное пространство Rⁿ называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Rⁿ условимся обозначать через dim.

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного векторного пространствa Rⁿ называется его базисом.

Теор1.Каждый вектор x линейного n- мерного пространства Rⁿ можно представить, и притом ед. способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Теор2. Если   - линейно независимые векторы пространства Rⁿи любой вектор линейно выражается через , то эти векторы образуют базис в Rⁿ.

21. Переход к новому базису

Пусть в пространстве Rⁿимеется два базиса : и .

Каждый из векторов нового базиса, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица A называется матрицей перехода от базиса к базису .

22. Скалярное произведение. Евклидово пространство.

Опр.: Скалярным произведением двух векторов (x,y)= ∑ называется число св-ва: 1) (x,y)=(y,x) 2) (x,y+z)=(x,y)+(x,z) 3) (λx,y)=λ(x,y) λ>0 любое действ.число

4) (x,x)>0(если x≠0)

Опр.: линейное(векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяет свойствам 1-4, называется Евклидовым пространством.

23. Понятие линейного пространства

Линейные операции над векторами обладают след свойствами:

1) x+y=y+x (коммутативный) закон сложения

2) (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативный) закон сложения

3) a(bx)=ab(x) , где a,b-действ числа

4) a(x+y)=ax+ay

5) (a+b)x=ax+bx

6) 0=(0,000) нулевой вектор x+0=x

7) для любого X сущетсвует -X

x+(-x)=0

Опр.: множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, которое удовлетворяет свойствам (1-7), называется векторным(линейным) пространством

24. Линейный оператор. Действия над линейными операторами

Линейный оператор - если задан закон, по которому каждому вектору х пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор у пространства R^m, то говорят, что задан оператор А(х), действующий из пространства Rⁿ в R^m

Действия над линейными операторами:

1)( Ã +῀В)*(х)= Ã (х)+῀В(х)

2)(ʎ῀А)(х)=ʎ(Ã (х))

3)( Ã ῀В)(х)=А(В(х))

4)῀0(х)=0

5)῀Е(х)=х

25. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Опр: Вектор Х≠0-называется собственным вектором матрицы А если найдётся такое число N, что выполняется равенство: AХ=ʎХ(3).

Опр: Число ʎ в равенстве (3) называется собственным значением матрицы А, соответствующий векторуХ. |A- ʎ E|=| | - характеристическое уравнение матрицы А

26. Матричная запись линейных операторов.

Связь между вектором х и его образом у= Ã(х) можно выразить в матричной форме У=А*Х, где А – матрица линейного оператора. Вектор Х состоит из координат Х=(х1,х2,…хn), а вектор У из координат У=(х1,х2…хn)

27. Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах (теорема)

Предположим, А и А* - матрицы линейного оператора Ã в базисах А-е1,е2,…еn, А*- е1*,е2*,…еn*, они связаны соотношением А*=С-1*А*С, где С – матрица перехода от старого базиса к новому