6. Минор квадратной матрицы, соответствующие элементу матрицы.

Пусть матрица А является кв. матрицей n-ого порядка. Минором элемента называется определитель (n -1)ого порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i – ой строки и j –ого столбца.

Пример:

7. Алгебраическое дополнение квадратной матрицы, соответствующие элементу матрицы

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ — понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на (–1)i+j (обозначается Аij):

Aij = (–1)i+j Mij, где Mij — минор элемента aij матрицы A=[aij], т. е. определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aij. Понятие А. д. используется, в частности, в операции обращения матрицы.

8. Вычисление определителя путем разложения по любой строке (столбцу) матрицы

Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:

Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

9. Свойства определителей

• При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

• Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

• Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

• Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

• Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.

• Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

• Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

• Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

• Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

10. Невырожденные матрицы. Пример.

Определение. Невырожденной матрицей называется квадратная матрица -го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

11. Обратная матрица.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную, как справа таи и слева получается единичная матрица:

* А = А * = Е

Если определитель матрицы отличен от 0, то такая матрица называется неособенной, в противном случае ( при ) такая матрица называется вырожденной или особенной.

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы:

Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (неособенная)