1.2.2 Знаходження інтервалу збіжності

Інтервал - інтервал збіжності степеневого ряду , де R - радіус збіжності, який обчислюють за формулами:

, або .

Приклад 7. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду:

а) б) в)

Розв'язування:

а) ;

; центр ряду в точці Х₀=0, інтервал збіжності (-1/2; 1/2)

Дослідимо на кінцях інтервалу

- збіжний умовно.

- розбіжний.

Тоді інтервал збіжності .

б) ряд збіжний в одній точці х=0.

Можна знаходити інтервал збіжності використовуючи ознаку Д’Аламбера або Коші.

в) Для знаходження інтервалу збіжності використаємо ознаку Даламбера:

За ознакою Даламбера ряд збігається якщо <1, тому інтервал збіжності ряду.

Приклад 9. Знайти інтервал збіжності ряду .

Розв’язування:

центр ряду в т. Х₀=-2, інтервал збіжності (-7;3).

1.2.3 Ряди Тейлора та Маклорена

Якщо нескінченно диференційовна в околі точки х=х₀, за формулою Тейлора число “n” можна брати як завгодно великим. Припустимо, що в розглядуваному околі залишок при . Якщо перейти в формулі Тейлора до границі при дістанемо праворуч нескінченний ряд, що називають рядом Тейлора:

Якщо в ряді Тейлора покласти х₀=0, то дістанемо ряд:

який називають рядом Маклорена.

1.2.4 Приклади розкладу функцiй в ряди Маклорена-Тейлора

1.

( + ).

2.

(- ;+ ).

3.

(- ;+ ).

4.

(-1;+1)

5.

6.

7.

5. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень

Елементарні функції розкладають в ряд Маклорена за степенями х. Похибку, яку ми допускаємо при заміні функції (суми ряду) многочленом, можна визначити, оцінивши залишковий член ряду, обчислення значень функцій.

Приклад 9. Знайти наближено sin1

Розв”язування:

Запишемо розклад в ряд функції sinx: . Покладемо , тоді . Якщо відкинути всі члени починаючи 3 4-го, то похибка буде за абсолютною величиною менша за (за Теоремою Лейбніца). Звідки

(з точністю до 0.0002).

6.Обчислення визначених інтегралів

Інтеграли не беруться в кінцевому вигляді через елементарні функції, тому їх обчислюють за допомогою рядів.

Приклад 10.

Обчислити з точністю до 10^-3

Розв”язування:

Розкладемо підінтегральну функцію в ряд Маклорена

Замінимо х на

- проінтегруємо.

Знайдемо член ряду менший за задану точність

Тому всі члени ряду, починаючи 3 5-го, відкидаємо:

7. Розв’язування диференціальних рівнянь.

Якщо не вдається проінтегрувати диференціальне рівняння в елементарних функціях то його розв’язок, що задовольняє деякій початковій умові шукаємо у вигляді степеневого ряду

,

Приклад 11.

Знайти 4 відмінні від 0 члени розкладу диференціального рівняння , що задовольняє початковій умові: у(0)=1

Розв’язок запишемо у вигляді

Тоді

Ряди Фур’є

1 Основні поняття

Періодичну функцію з періодом можна представити тригонометричним рядом, збіжним в інтервалі , тобто

де

Коефіцієнти обчислені за цими формулами називають коефіцієнтами Фур’є, а тригонометричний ряд з такими коефіцієнтами називають рядом Фур’є.

2.Ознака розкладу функції в ряд Фур’є

Якщо періодична функція з періодом кусочно-монотонна і обмежена на , то ряд Фур’є, побудований для цієї функції збіжний в усіх точках інтервалу . Сума отриманого ряду дорівнює значенню функції в точках неперервності функції. В точках розриву функції сума ряду дорівнює середньому арифметичному границь функції зліва і справа, тобто, якщо с- точка розриву фу нкції, то .

Приклад 12.

Розкласти в ряд Фур’є функцію

Розв”язування:

Побудуємо графік функції, та доповнимо її до періодичної

в точках розриву .