1.1.3 Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами Ознака порівняння

Нехай дано 2 ряди з невід’ємними членами (3) та (4)

а) (порівняльна ознака в формі нерівностей)

якщо кожен член ряду (3) не більший за відповідний член ряду (4): то із збіжності ряду (4) (більшого) випливає збіжність ряду (3) (меншого) і із розбіжності ряду (3) випливає розбіжність ряду (4).

б) ( порівняльна ознака через границю)

якщо існує скінчена та відмінна від нуля границя , то ряди (3) та (4) або обидва збігаються, або обидва розбігаються.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряди а) , б)

а) ряд порівняємо з геометричною прогресією збіжним рядом: поскільки нерівність виконана і більший ряд збіжний, то і менший (U_n) збіжний.

б) порівняємо з гармонійним рядом (розбіжним): - нерівність виконана і менший ряд розбіжний, тому і даний ряд (більший) розбіжний.

Ознака Д’Аламбера

Якщо для ряду з додатними членами існує границя , то даний ряд збігається якщо , розбігається якщо .

У випадку коли відповіді щодо збіжності теорема не дає. Необхідно застосувати іншу ознаку.

Приклад 3. Дослідити на збіжність ряди:

а) б)

Розв’язування:

а) - розбіжний

б) - збіжний.

Ознаки Коші

(радикальна ознака Коші): Якщо для ряду з додатними членами існує границя , то при ряд збігається; - розбігається.

Якщо теорема відповіді не дає, потрібно застосувати іншу ознаку.

Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд:

Розв’язування:

- розбіжний;

(Інтегральна ознака Коші)

Якщо ф-ція при неперервна, додатна і спадна, то ряд , де та інтеграл збіжний або розбіжний одночасно.

Приклад 5. Дослідити на збіжність: .

Розв’язування:

Розглянемо функцію ця функція монотонно спадає на [2;+ ], неперервна на цьому проміжку та ƒ(n)=

Інтеграл розбіжний. Згідно з інтегральною ознакою ряд розбіжний.

1.1.4 Ряди Лейбніца.

Всі достатні ознаки ми розглядали відносно рядів з додатними членами.

Розглянемо знакозмінні ряди, для яких спостерігається чергування знаків, тобто ряди виду:

(5)

де при .(які називають рядами Лейбніца).

Такі ряди досліджують на збіжність за теоремою Лейбніца:

Якщо в знакозмінному ряді члени такі, що: 1) тобто члени монотонно спадають і

2) ,

то ряд (5) збігається, його сума додатна і не перевищує першого члена.

Приклад 6.

Дослідити на збіжність ряд та знайти наближено (до 0.01) суму цього ряду.

Розв’язування.

а) Дослідимо на збіжність. Для цього перевіримо умови теореми Лейбніца:

- ряд збіжний.

б) Для того, щоб знайти суму ряду до 0.01, потрібно взяти стільки членів ряду, щоб його наступний член за модулем був менший 0.01.

олоооооооооооооооооооооооооооооооооодддддддддддд

1.2 Степеневі ряди

1.2.1Основні поняття

Степеневі ряди відносяться до найважливіших класів функціональних рядів.

Означення. Степеневим рядом називають функціональний ряд

, (6)

де – сталі числа, коефіцієнти ряду.

Областю збіжності степеневого ряду завжди є інтервал, що може вироджуватись в точку.

Теорема Абеля: а) якщо степеневий ряд (6) збігається в точці х₀, то він абсолютно збігається при всякому значенні х, для якого .

б) якщо ряд розбігається при деякому значенні , то він розбігається при всякому х для якого

Означення. Інтервалом збіжності степеневого ряду називають такий інтервал (-R; R) з центром в початку координат, що для будь-якої точки з цього інтервалу ряд збігається абсолютно, а для точок х, що лежать поза інтервалом, ряд розбігається.

Означення. Степеневим рядом також називають ряд , де - коефіціенти степенового ряду. Це степеневий ряд записаний за степенями двочлена . Якщо отримаємо ряд за степенями х. Даний степеневий ряд збігається в інтервалі і розбігається поза ним .