26

Міністерство освіти і науки україни Вінницький державний технічний університет г.Г. Кашканова

В.А. Петрук.

Збірник задач з вищої математики частина ііі Навчальний посібник

Затверджено Ученою радою Вінницького державного

технічного університету як навчальний посібник з вищої мате-

матики для студентів усіх спеціальностей.

Вінниця ВДТУ 2001

УДК

Збірник задач з вищої математики частина ІІІ. Навчальний посібник (Г.Г.Кашканова, В.А.Петрук. – В.: ВДТУ, 2001 – С. – Укр. мовою)

В даному навчальному посібнику подані основні теореми та формули, які використовують при розв”язуванні завдань з таких тем, як ряди, теорія функції комплексної змінної, операційне числення.

Застосування формул та теорем розглядаються на прикладах. В кінці кожної теми подано дидактичний матеріал, який можна використати для розрахунково-графічних завдань та самостійних робіт.

Навчальний посібник призначено для студентів технічних вузів усіх форм навчання та спеціальностей.

Бібліограф: назв, табл, іл.

Рецензенти:

Зміст

1. ЧАСТИНА І. Ряди ……………………………………………………

2. Завдання для самостійної роботи……………………………………

3. ЧАСТИНА ІІ.Теорія функції комплексної змінної…………………

4. Завдання для самостійної роботи……………………………………

5. ЧАСТИНА ІІІ.Операційне числення…………………………………

6. Завдання для самостійної роботи……………………………………

7. Література ……………………………………………………………

І. Ряди

1.1 Числові ряди

1.1.1 Основні поняття.

Ряди в математичному аналізі є основним засобом дослідження функцій. Розкладання в степеневі ряди широко використовують в наближених обчисленнях ( для обчислення значень функції, визначених інтегралів, розв’язків диференціальних рівнянь). В математиці, фізиці, електротехніці, важливу роль відіграють тригонометричні ряди Фур’є.

Нехай задана нескінченна послідовність чисел U₁, U₂, … , U_n, … Вираз U₁+U₂+…+U_n+…= (1)

називають числовим рядом, а числа U₁, U₂, … , Un, відповідно 1-м; 2-м; … n-м членами ряду.

Закон утворення членів ряду задають n-м членом. Знаючи формулу n-го члена можна знайти будь-який член ряду.

Н априклад, якщо

т о

Означення: Суму скінченного числа “n” перших членів ряду називають n-ю частинною сумою ряду S_n = U₁ + U₂ + … + U_n.

Р озглянемо частинні суми: S₁ = U₁; S₂ = U₁ + U₂; S₃ = U₁ + U₂ + +U₃; … , Sn = U₁ + U₂ +…+ U_n. Якщо існує кінцева границя

(2)

т о її називають сумою ряду (1), а ряд (1) - збіжним. Суму ряду записують

Я кщо границя (2) не існує (наприклад Sn→∞, n→∞), то говорять, що ряд (1) розбіжний і суми не має.

1.1.2 Необхідна ознака збіжності ряду.

Якщо ряд збіжний, то його n-й член прямує до нуля при n→∞: .

Наслідок: Якщо n-й член ряду не прямує до нуля при n→∞, то ряд розбіжний.

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язування. Використаємо необхідну ознаку збіжності:

- ряд розбіжний.

Дана ознака є тільки необхідною, тобто із того, що Un→0 ще не випливає що ряд збіжний (може бути і розбіжний). Прикладом є гармонійний ряд розбіжний, хоч і .