Решение типовых задач

Задание 1

Непосредственным интегрированием найти следующие интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) _.

Задание 2

Проинтегрировать, выбрав нужный метод интегрирования.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 3

Вычислить определённый интеграл _.

Задание 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

xy = 3, y + x = 4.

Задание 5

По формулам трапеций и парабол (Симпсона) приближенно вычислить интеграл

Сведения из теории

Таблица интегралов

3. ;

Свойства неопределённого интеграла

1. ;

2. , k – число;

3. .

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к табличному интегралу, называется непосредственным интегрированием.

При сведении интегралов к табличным, используются следующие свойства дифференциала:

, a – число,

, a 0 – число, а также преобразования:

Пример выполнения задания 1

Непосредственным интегрированием найдём следующие интегралы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Сведем данные интегралы к табличным.

а) _.

б) _.

в) _.

г)

Пример выполнения задания 2

Проинтегрируем, выбрав нужный метод интегрирования.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

а) _.

Используя метод непосредственного интегрирования и свойства неопределённого интеграла, заданный интеграл преобразуем к сумме табличных интегралов.

б) _.

Применим метод интегрирования по частям:

_.

Обозначим: = , = , найдем и и подставим полученные выражения в формулу интегрирования по частям:

_.

в) _.

Применим метод замены переменной, обозначив за переменную .

_{Вернёмся к переменной х:}

г) _.

Применим формулу понижения степени синуса: _.

Пример выполнения задания 3

Вычислим определенный интеграл _.

Решение.

Применим метод интегрирования по частям в определённом интеграле.

_.

Ответ: .

Пример выполнения задания 4

Вычислим площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

xy = 3, y + x = 4.

Решение.

Строим в прямоугольной системе координат данные линии.

_.

=4 – 3 ln3 (ед²).

Ответ: S = 4 – 3 ln 3 (ед²).

Пример выполнения задания 5

По формулам трапеций и парабол (Симпсона) приближённо вычислим интеграл _.

Решение.

– точное значение интеграла.

Применим формулу трапеций:

_,

В нашей задаче

_.

Составим таблицу значений:

х		х
х0=1,0	у0=1,00000	х6=1,6	у6=0,62500
х1=1,1	у1=0,90909	х7=1,7	у7=0,58824
х2=1,2	у2=0,83333	х8=1,8	у8=0,55556
х3=1,3	у3=0,76923	х9=1,9	у9=0,52632
х4=1,4	у4=0,71429	х10=2,0	у10=0,50000
х5=1,5	у5=0,66667

Применим формулу Симпсона:

Сравнивая приближённые значения интеграла со значением, полученным по формуле Ньютона-Лейбница, , мы видим, что формула Симпсона дает более точный результат, чем формула трапеций.

Модуль 6

Интегральное исчисление функций нескольких переменных