Задачи для решения
Задание 1
Исследовать на сходимость числовые ряды.
Варианты
а)
; б)
в)
; г)
.
2. а)
; б)
в)
; г)
.
3. а)
; б)
в)
г)
.
4. а)
б)
в)
г)
.
5. а)
б)
в)
г)
.
6. а)
б)
в)
г)
.
7. а)
б)
в)
;
г)
.
8. а)
б)
в)
г)
.
9. а)
б)
в)
г)
.
10. а)
б)
в)
г)
.
Задание 2
Определить радиус и область сходимости степенных рядов.
Варианты
1. а)
;
б)
.
2. а)
;
б)
.
3. а)
;
б)
.
4. а)
;
б)
.
5. а)
;
б)
.
6. а)
;
б)
.
7. а)
;
б)
.
8. а)
; б)
.
9. а)
;
б)
.
10. а)
; б)
.
Задание 3
Разложить заданную функцию в ряд Фурье в интервале [-π; π].
Варианты
1. a)
б) f(x) = 2x на отрезке [0;2] по косинусам.
2. a)
б) f(x) = 1 – x на отрезке [0;1] по синусам.
3. a)
б)
на отрезке [0;4] по косинусам.
4. a)
б) f(x) = x – 1 на отрезке [0;1] по косинусам.
5. a)
б) f(x) = 2 – 2x на отрезке [0;1] по синусам.
6. а)
б)
на отрезке [-5;0] по косинусам.
7. а)
б) f(x) = 3 – x, на отрезке [0;3] по синусам.
8. а)
б) f(x) = 1 – 2x на отрезке [0;1/2] по косинусам.
9. а)
б) f(x) = -2x на отрезке [0;1/2] по синусам.
10. а)
б)
на отрезке [0;4] по косинусам.
Решение типовых задач
Задание 1
Исследовать на сходимость числовые ряды.
а)
;
б)
+…;
в)
.
Задание 2
Определить
радиус и область сходимости степенного
ряда
.
Задание 3
Разложить
функцию
в ряд Фурье в интервале [-π; π].
Решение типовых задач
Сведения из теории
Числовые ряды
Числовым рядом называют сумму бесконечной числовой последовательности вида
=
.
Числа
называют членами ряда, un –
общим членом ряда.
Конечная сумма
Sn
=
называется n-ой частичной
суммой ряда.
Если существует
конечный предел
, ряд называется сходящимся, в противном
случае – расходящимся.
Необходимый признак сходимости
Если ряд
сходится, то его общий член un
стремится к нулю при n → ∞, т.е.
.
Указанный признак не является достаточным, т.е. если un → 0, то о сходимости ряда ничего сказать нельзя.
Достаточные признаки
Признак сравнения
Если даны два ряда
и
с положительными членами, причем члены
первого ряда не превосходят соответствующих
членов второго ряда: 0 ≤ un
≤ vn , то
а) из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда;
б) из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.
Для сравнения часто используются ряды:
Ряд геометрической прогрессии:
