Дифференциальные уравнения высших порядков Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , (1)

где постоянные, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если y₁(x) и y₂(x) – частные решения уравнения (1), причем их отношение , то есть общее решение этого уравнения. Для определения частных решений y₁(x) и y₂(x) уравнения (1) следует предварительно решить характеристическое уравнение .

Решение квадратного уравнения определяется по формулам:

, , где .

Если D>0, то уравнение имеет два действительных различных корня k₁≠k₂ .

Если D=0, то уравнение имеет два одинаковых корня k₁=k₂.

Если D<0, то уравнение имеет два комплексных сопряженных корня вида , .

Число называется мнимой единицей.

Корни характеристического уравнения	Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений
1. k1≠k2 - корни действительные различные; 2. k1=k2 - корни действительные равные; 3. - корни комплексные; 4. - корни мнимые.	1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

Уравнение вида (2)

с постоянными коэффициентами и с непрерывной правой частью f(x) называют ЛНДУ.

Уравнение с теми же коэффициентами, но с правой частью, равной нулю , называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2).

Общее решение ЛНДУ: у = у₀ + ỹ – сумма общего решения соответствующего линейному однородному уравнению у₀ и какого-либо частного решения уравнения (2) ỹ.

Метод определения частного решения ỹ ЛНДУ зависит от вида правой части уравнения.

1. Правая часть вида , где – многочлен

степени n. Частное решение нужно искать в виде

ỹ = e^αx(A_nxⁿ + A_n-1x^n-1 + …+ A₁x + A₀)x^r ,

где показатель r равен количеству корней характеристического уравнения, равных коэффициенту в показателе экспоненты.

A₀, A₁,…, A_n – неопределенные коэффициенты многочлена А_п(х), которые находят методом неопределенных коэффициентов.

Этот метод основан на том, что любое решение дифференциального уравнения превращает его в тождество. Если ỹ подставить в данное ЛНДУ (2), уравнение превращается в тождество, в котором при одинаковых функциях в левой и правой частях тождества должны стоять одинаковые коэффициенты. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х или других функциях, получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов в многочлене А_п(х).

2. Правая часть вида f(x) = e^αx(P_п(x)cosβx + Q_т(x)sinβx), где P_п(x), Q_т(x) – многочлены. Частное решение нужно искать в виде ỹ = e^αx(A_k(x)cosβx + B_k(x)sinβx)x^r.

Многочлены А_k(х) и В_k(х) должны быть степени k = тах(п,т). Показатель r равен количеству пар комплексных сопряженных корней характеристического уравнения, у которых действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе экспоненты, а мнимая – с коэффициентом β.

Коэффициенты многочленов А_k(х), В_k(х) определяются методом неопределенных коэффициентов.

Пример выполнения задания 2

Найдём общие решения однородных линейных уравнений второго порядка.

а) 2y'' + 5у' + 2у = 0.

Составим характеристическое уравнение и найдём его корни:

2k² + 5k + 2 = 0,

.

Корни действительные различные: k₁ = -2, k₂ = -1/2,

следовательно,

- общее решение данного уравнения.

б) у'' + 6у' + 13у = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k² + 6k + 13 = 0,

Вычисляем корни :

они комплексные сопряженные, следовательно,

– общее решение данного

уравнения.

в) у'' – 8у' + 16у = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k² – 8k + 16 = 0,

.

Корни характеристического уравнения действительные

равные: k₁ = k₂ = 4, следовательно,

y = e^x(C₁ + C₂x) - общее решение данного уравнения.

г) у'' – 5у' + 6у = 13sin3x.

Определяем общее решение линейного однородного д.у.

у'' – 5у' + 6у = 0.

Корнями характеристического уравнения k² – 5k + 6 = 0 являются числа k₁ = 2, k₂ = 3.

Следовательно, у₀ = С₁е^2х + С₂е^3х – общее решение

однородного д.у.

Представим правую часть в виде:

13sin3x = e^0x(0∙cos3x + 13sin3x),

Здесь α = 0, β = 3, P₀(x) = 0, Q₀(x) = 13 – многочлены нулевой степени. Число k = α + iβ = 3i не равно k₁ и k₂, значит r = 0 и частное решение ищем в виде

ỹ = e^0x(A₀(x)cos3x + B₀(x)sin3x)x⁰= Acos3x + Вsin3x.

Найдем и :

,

.

Подставив значения в исходное уравнение, получаем тождество

.

После преобразования:

-3(А + 5В)cos3x + 3(5А – В)sin3x ≡13sin3x.

Приравниваем коэффициенты при sin3x и cos3x:

Решив систему, получим А = 5/6 , В = -1/6.

Частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид:

= 5/6 cos3x – 1/6 sin3x.

Общее решение уравнения:

у = у₀ + ỹ = С₁е^2х + С₂е^3х + 5/6 cos3x – 1/6 sin3x.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

С овокупность n дифференциальных уравнений вида

х'₁ + а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = f₁(t),

x'₂ + а₂₁x₁ + а₂₂x₂ + … + а_2nx_n = f₂(t),

• — — — — — — — — — — —

x'_n + а_n1x₁ + а_n2x₂ + … + а_nnx_n = f_n(t).

где t – аргумент, x₁, x₂, …, x_n­ – неизвестные функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Проинтегрировать эту систему, значит найти ее решение, т.е. систему функций x₁(t), x₂(t), …, x_n­(t), обращающих равенства в тождества.

Пример выполнения задания 3

Решим систему

Решение.

Данную систему решим методом исключения.

Исключаем х из данных уравнений. Из второго уравнения имеем:

х = (у' + 8у – 5е^-t).

Продифференцируем его по аргументу t:

х' = (у'' + 8у' + 5е^-t), и подставим в первое уравнение. После упрощения получим:

у'' + у' – 2у = -4е^-t (*).

Это линейное дифференциальное уравнение. Найдем его общее решение у = у₀ + ỹ .

Корни характеристического уравнения k² + k – 2 = 0

k₁ = 1, k₂ = -2.

Общее решение однородного уравнения у₀ = С₁е^t + C₂e^-2t.

Частное решение неоднородного уравнения (*) ищем в виде

= Аe^-t.

Найдем = -Ае^-t, = Ае^-t и подставим в уравнение (*). Получим А = 2, следовательно, =2e^-t.

у = С₁e^t + C₂e^-2t + 2e^-t. Определим х, пользуясь равенством

х = (у' + 8у – 5е^-t). Найдем у' = C₁e^t – 2C₂e^-2t – 2e^-t .

После подстановки у и у' :

х = (C₁e^t – 2C₂e^-2t – 2e^-t + 8(C­₁e^t + C₂e^-2t + 2e^-t) – 5e^-t).

Упростив, получим х = 3С₁e^t + 2e^-2t + 3e^-t.

О бщим решением данной системы будут функции:

х = 3С₁e^t + 2e^-2t + 3e^-t,

у = С₁е^t + C₂e^-2t + 2e^-t.

Модуль 8

Ряды