2.5 Представления чисел в разрядной сетке эвм

Машинным изображением числа называют его представление в разрядной сетке ЭВМ. Числа в ЭВМ могут быть представлены в естественной (с фиксированной запятой) форме и в нормальной (с плавающей запятой) форме. Такое представление чисел принято в стандарте IEEE [5].

В форме с фиксированной запятой в разрядной сетке выделяется строго определенное число разрядов для целой и для дробной частей числа. Левый (старший) разряд «0» хранит признак знака (0 – «+», 1 – «–») и для записи числа не используется. Запятая никак не отображается, но ее место строго фиксировано и учитывается при выполнении всех операций с числами.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2n-1					21	20	2-1	2-2						2-m

С 1 по 7 разряды – целая часть;

С 8 по 15 разряды – дробная часть.

Возможен частный случай числа с фиксированной запятой, в этом случае все разряды, кроме знакового, используются для записи целой части.

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	2n-1													21	20

Достоинством этой формы представления чисел является простота выполнения арифметических операций и высокая точность изображения чисел, а недостатком – маленький диапазон представления чисел.

«Плавающая запятая» названа так потому, что запятая в позиционном представлении числа (десятичная запятая, или, для компьютеров, двоичная запятая) может быть помещена где угодно относительно цифр в строке. Это положение запятой указывается отдельно во внутреннем представлении. Таким образом, представление числа в форме с плавающей запятой может рассматриваться как компьютерная реализация экспоненциальной записи чисел:

(4)

где m – мантисса числа N, q – основание системы счисления, ± p – порядок числа.

Положение точки определяется значением порядка  p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо.

Пример:

847 = 84,7*10¹ = 8,47*10² = 0,847*10³.

При увеличении порядка происходит сдвиг мантиссы вправо, младшие разряды могут выйти за пределы разрядной сетки, что уменьшит точность представления чисел. Поэтому для представления чисел в форме с плавающей запятой используется нормализованная форма записи, когда первая цифра мантиссы должна быть обязательно значащей. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: 1/q ≤ m < 1.

В разрядной сетке выделяется определенное количество разрядов для хранения мантиссы и порядка с их знаками. 15 разрядов – полуслово, 32 разряда – слово, 64 разряда – двойное слово. Основание системы счисления (2) нигде не хранится, но используется при вычислениях.

Согласно формуле (4) имеем:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

где «0» – разряд используется для знака мантисы «m»;

«1» – разряд используется для знака порядка «p»;

«2–7» – разряды используются для самого порядка;

«8–15» – разряды используются для мантисы.

Пример:

Число А = –3,5₁₀ = –11,1₂ = –0,111·10¹⁰ в формате «слово».

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12			31
1	0	0	0	0	0	0	1	0	1	1	1	0	….		0

Число А = 4₁₀ = 100₂ = 0,1⋅10¹¹ .

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12			31
0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0			0