Лабораторная работа 9 - Построение регрессионных моделей с фиктивными переменными

9.1. Цели и задачи лабораторной работы

В данной лабораторной работе, на основе фактического материала, рассмотрим способы применения фиктивных переменных в регрессионных моделях, при этом выделим следующие задачи:

1. на основе данных о ценах на квартиры, оценить регрессионную модель с фиктивными переменными;

2. рассмотреть способ применения фиктивных переменных для описания сезонности;

3. рассмотреть использование фиктивных переменных для описания структурных сдвигов в макроэкономических рядах.

9.2. Понятие фиктивных переменных и их применение в пространственных и временных моделях

Факторы, применяемые в регрессионных задачах, обычно могут принимать значения из какого-либо непрерывного интервала. Но часто случается так, что отдельные факторы, которые необходимо (или хотелось бы) ввести в регрессионную модель, являются качественными по своей природе и, следова­тельно, не измеряются в числовой шкале. В качестве примеров можно привести следующие случаи:

1. Исследуется зависимость между продолжительностью полученно­го образования и доходом, и в выборке представлены лица как мужс­кого, так и женского пола. Нужно выяснить, обусловливает ли пол раз­личие в результатах.

2. Исследуется зависимость между доходом и потреблением в Бель­гии, и выборка включает как франкоговорящие семьи, так и семьи, говорящие по-фламандски. Нужно выяснить, имеет ли существенное значение это этническое различие.

3. Исследуются факторы, определяющие инфляцию, и в некоторые годы периода наблюдений правительство проводило политику регули­рования доходов. Нужно проверить, оказало ли это какое-либо влия­ние на исследуемую зависимость.

В каждом из этих примеров одним из возможных решений было бы оценива­ние отдельных регрессий для двух указанных категорий с последующим выяс­нением, различаются ли полученные коэффициенты. Другой возможный под­ход к решению состоит в оценивании единой регрессии с использованием всей совокупности наблюдений и измерением степени влияния качественного фак­тора посредством введения так называемой фиктивной переменной (манекены, дамми переменные, в отечественной литературе структурные переменные). Второй под­ход обладает двумя важными преимуществами: во-первых, имеется простой спо­соб проверки, является ли воздействие качественного фактора значимым; во-вто­рых, при условии выполнения определенных предположений регрессионные оценки оказываются более эффективными.

В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные, булевые) переменные которые принимают всего два значения 0 и 1. Обычно фиктивные переменные обозначаются как Z_i (или D_i).

Следует отметить не совсем удачный перевод на русский язык термина dummy variables как «фиктивные» переменные. Во-первых, в модели регрессионного анализа уже имеет фиктивная переменная x₀ при a₀, всегда равная единицы. Во-вторых все процедуры регрессионного анализа проводятся при включении фиктивных переменных так, же как и обычных количественных переменных. «Фиктивность» же переменных Z_i состоит только в том, что они количественным образом описывают качественный признак.

Вводя в уравнение регрессии фиктивную переменную и найдя параметры уравнения следующим шагом проверяют H₀ о равенстве коэффициента при Z_i=0, этим устанавливается существенность влияния фактора отражаемого фиктивной переменной на Y.

Если рассматриваемый качественный признак имеет несколько (k) уровней (градаций), то в принципе можно ввести в регрессионное уравнение дискретную переменную, принимающую такое же количественное значение. Однако так не поступают из-за трудности содержательной интерпретации соответственных коэффициентов регрессии, а вводят (k-1) бинарных переменных.

Вводить бинарную переменную Z_k нельзя, так как при этом для любой i-го наблюдения Z₁+Z₂+…+Z_k=1, т.е. при суммировании элементов столбцов общей матрицы, соответствующих фиктивных переменных Z₁, Z₂,…,Z_k получим столбец, состоящий из одних единиц. А так как в матрице такой столбец из единиц уже есть, то это означает линейную зависимость значений (столбцов) общей матрицы X, т.е. нарушилось одна из предпосылок МНК. Таким образом, возникает проблема мультиколлинеарности и как следствие – невозможности получения не смещенных (достоверных) оценок МНК. Такая ситуация, когда сумма значений несколько переменных, включенных в регрессию, равна постоянному числу (единице) получила название «dummy trap» или «ловушка». Чтобы избежать такие ловушки, число вводимых переменных должно быть на единицу меньше числа уровней (градации) качественного признака.