1.2 Методика множественного корреляционного анализа

Анализ корреляционной зависимости (КА) переменных позволяет установить наличие связи между анализируемыми переменными, оценить ее тесноту и определить направление (прямая или обратная связь). Кроме того, в ходе КА происходит отбор существенных факторов, включаемых в уравнение регрессии.

В ходе множественного КА рассчитываются следующие характеристики:

- парные коэффициенты корреляции – оценки тесноты линейной корреляционной связи между всеми парами анализируемых признаков с учетом их взаимного влияния и взаимодействия. Совокупность парных коэффициентов корреляции, относящихся ко всем исследуемым признакам, может быть представлена в виде корреляционной матрицы R, которая рассчитывается по формуле

, (2.1)

где – матрица стандартизованных значений исходных переменных. Ее элементы рассчитываются по формуле

.

На главной диагонали матрицы R стоят единицы, т.е. дисперсии стандартизованных переменных, другие элементы — парные коэффициенты корреляции ;

- частные коэффициенты корреляции , характеризующие тесноту линейной корреляционной связи между парой анализируемых признаков ( и ) без учета влияния на эту пару других переменных ( , , и т.д.). Эти коэффициенты характеризуют так называемую чистую корреляцию. В матричном виде формулу для расчета частных коэффициентов корреляции можно записать следующим образом:

, (2.2)

где , , – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы парных корреляций R.

Знак частному коэффициенту корреляции присваивается такой же, как и у парного коэффициента корреляции;

-множественный коэффициент корреляции характеризует степень тесноты связи между результативным признаком (откликом) и всеми факторными признаками (предикторами – );

-множественный коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативной переменной, обусловленную влиянием факторных переменных, участвующих в анализе. На основе корреляционной матрицы R множественный коэффициент корреляции и множественный коэффициент детерминации могут быть исчислены следующим образом:

; , (2.3)

где – определитель матрицы парных корреляций, – определитель матрицы парных корреляций, полученной после вычеркивания строки и столбца, представляющих связи зависимой переменной ( ).

Пример 1. По пяти промышленным предприятиям имеются следующие данные о фондовооруженности труда рабочих ( ), уровне производительности труда ( ), удельном весе потерь от брака ( ) (таблица 2.1).

Таблица 2.1

Номер предприятия	Фондовооруженность труда рабочего, тыс. ден. ед.	Месячная производительность труда рабочего, тыс. ден. ед.	Удельный вес потерь от брака, %
1	3,9	7,0	2,4
2	1,1	11,1	5,9
3	1,8	10,2	6,2
4	6,0	12,0	6,0
5	5,4	10,0	11,0

Определить:

1) матрицы парных и частных коэффициентов корреляции;

2) множественный коэффициент детерминации и множественный коэффициент корреляции при условии, что – зависимая переменная;

3) матрицу ковариаций.

Решение.

1 Парные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

;

.

Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид

.

2. Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формуле

; ; ;

;

;

.

Матрица частных коэффициентов корреляции ( ) будет иметь вид

.

3 Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле

; .

4. Элементы ковариационной матрицы определяются по формуле

.

В многомерном статистическом анализе ковариации принято иногда обозначать как (по аналогии с дисперсиями).

Рассчитаем последовательно все элементы ковариационной матрицы:

;

;

; ;

; .

Матрица ковариаций будет иметь следующий вид:

.

На основании матрицы ковариаций можно сравнить вариацию признаков в исследуемой статистической совокупности. Для этого рассчитаем коэффициенты ковариации по каждой переменной:

; ;

; .

Как показывают расчеты, исследуемая совокупность наиболее однородна по второй переменной – месячная производительность труда, а наименее однородна по переменной – фондовооруженность труда рабочего.

Используя элементы ковариационной матрицы, можно также проверить правильность расчета парных линейных коэффициентов корреляции

.

Например, коэффициент корреляции между переменными и будет равен

,

а в корреляционной матрице он равен 0,048, т.е. имеется небольшое расхождение за счет округлений.