5. Графический способ нахождения оптимальных стратегий лпр

Если седловой точки нет, то можно применить графический способ или составить модель и решить симплекс-методом.

Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Если же игра не сводится путем упрощения к размерности или , то составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.

Пример 3. Рассмотрим платежную матрицу, у которой нет седловой точки (проверить!). Значит, игроки будут применять смешанные стратегии.

7	6	5	4	2
5	4	3	2	3
5	6	6	3	5
2	3	3	2	4

Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков. Путем упрощения, ее можно свести к матрице .

	( )	( )
( )	4	2
( )	3	5

Рассмотрим решение с позиции игрока А.

Найдем его оптимальную стратегию , в которой уже известно, что (отброшены доминируемые стратегии А₂ и А₄).

Обозначим - вероятность применения игроком стратегии ;

- вероятность применения игроком стратегии .

Так как , то .

Тогда получим, что средний выигрыш игрока равен цене игры :

, или .

Чистые стратегии игрока	Ожидаемые выигрыши игрока
	= 4 р1 + 3 р3 = 4р1 + 3(1 - p1) = р1 + 3
	= 2 р1 + 5 р3 = 2 р1 + 5(1-p1) = -3р1 + 5

На оси Ох разместим точки р₁=0 и р₁=1, через которые проведем прямые, перпендикулярные оси Ох. Подставляя р₁=0 и р₁=1 в выражение р₁+3, найдем значения 3 и 4, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.

Аналогично рассмотрим выражение (-3р₁+5). Подставляя р₁=0 и р₁=1 в это выражение, найдем значения 5 и 2, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим вторую прямую.

Оптимальная стратегия игрока найдется из равенства выражений (р₁+3) и (-3р₁+5). Отсюда р₁=р₃=0,5.

Оптимальная стратегия .

Цена игры для игрока А равна .

Для второго игрока оптимальная стратегия ищется аналогично. Известно, что (отброшены доминируемые стратегии В₁, В₂ , В₃).

Обозначим - вероятность применения игроком стратегии ;

- вероятность применения игроком стратегии .

Так как , то . Зная, что средний выигрыш игрока равен цене игры , заполним таблицу.

Чистые стратегии игрока	Ожидаемые выигрыши игрока
	= 4q4 + 2q5 = 4q4 + 2(1 – q4) = 2q4 + 2
	= 3q4 + 5q5 = 3 q4 + 5(1-q4) = -2q4 + 5

Оптимальная стратегия игрока найдется из равенства выражений (2q₄+2) и (-2q₄+5). Отсюда q₄=0,74; q₅=0,25, оптимальная стратегия .

Цена игры для игрока В равна .

Ответ:

оптимальное решение игры .

цена игры .