2. Антагонистические игры (принцип минимакса, седловой элемент, цена игры)

В качестве цели при поиске решения антагонистической игры будем рассматривать ситуацию равновесия, то есть устойчивое и выгодное решение.

Ситуация ( i*, j* ) называется равновесной, если она приемлема для обоих игроков. То есть всякое отклонение от приемлемой ситуации уменьшает выигрыш первого игрока и увеличивает проигрыш второго. Применительно к антагонистическим играм говорят о седловых точках.

Свойства седловых точек:

1. Равноценность. Если в игре несколько седловых точек, то значения функции выигрыша в них одинаковы.

2. Взаимозаменяемость оптимальных стратегий. Игроки могут заменить свои оптимальные стратегии другими оптимальными стратегиями, при этом равновесие не нарушится, а выигрыш (проигрыш) останется неизменным.

Устойчивое решение игры может быть получено путем следующих рассуждений.

Рассмотрим парную конечную игру, то есть два игрока, и они имеют противоположные интересы, причем у каждого из игроков А и В конечное число возможных действий - чистых стратегий.

Пусть игрок располагает стратегиями , а игрок - стратегиями . Целью участников любой матричной игры является выбор наиболее выгодных стратегий, доставляющих игроку максимальный выигрыш, а игроку - минимальный проигрыш.

Игрок , анализируя платежную матрицу, для каждой стратегии (строки) ( ) сначала найдет минимальное значение ожидаемого выигрыша ( ). А затем из всех выделит наибольшее число и выберет соответствующую ему стратегию - наиболее предпочтительную в данных условиях. Ее называют максиминной стратегией, поскольку она отвечает величине

. (1)

Число называется нижней чистой ценой игры (максимином). Оно показывает, какой гарантированный минимальный выигрыш может получить игрок при любых действиях игрока .

Игрок , стремясь минимизировать проигрыш, при выборе наиболее предпочтительной стратегии сначала для каждой стратегии (столбца) ( ) найдет максимально возможный проигрыш ( ). А затем среди всех выберет минимальное значение , которому будет соответствовать искомая стратегия . Ее называют минимаксной, так как она соответствует величине

. (2)

Число называется верхней чистой ценой игры (минимаксом). Оно показывает, какой гарантированный проигрыш может быть у игрока независимо от действий игрока .

Таким образом, правильно используя стратегии, игрок обеспечит себе выигрыш не меньше , а игрок в результате правильного применения своих чистых стратегий не позволит игроку выиграть больше, чем .

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса.

Сформулируем утверждение (без доказательства).

В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры : .

Общее значение нижней и верхней цены игры называется чистой ценой игры.

Максиминная и минимаксные стратегии, соответствующие цене игры , являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением игры.

Элемент платежной матрицы, стоящий на пересечении строки и столбца, которые соответствуют оптимальным стратегиям и , называется седловым элементом платежной матрицы.

Пример 1. Найти нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы

Стратегии игрока	Стратегии игрока
	B1	B2	B3
A1	0,4	0,6	0,8	= 0,4
A2	1,1	0,7	0,9	= 0,7
A3	0,7	0,3	0,5	= 0,3
	=1,1	=0,7	=0,9

Для этой матрицы видно, что . Седловая точка , значит, цена игры равна .

Матричная игра, имеющая седловую точку , решается в чистых стратегиях.

Оптимальными являются чистые стратегии , образующие седловую точку, цена игры равна .

Решением игры считается тройка .