Лекция 4. Принятие оптимальных решений матрично-игровым методом

Содержание

1. Теория игр как основа моделирования конфликтных ситуаций.

2. Антагонистические игры (принцип минимакса, седловой элемент, цена игры, решение игры).

3. Доминирование стратегий игроков.

4. Оптимальные смешанные стратегии ЛПР.

5. Графический способ нахождения оптимальных стратегий ЛПР.

1. Теория игр как основа моделирования конфликтных ситуаций

В предыдущих разделах были рассмотрены задачи принятия решений в ситуациях определенности. Однако существуют реальные задачи, в которых необходимо принимать решения в неопределенных ситуациях, когда известны лишь области возможных значений неопределенных факторов, но неизвестны их законы распределения вероятностей.

Подавляющее большинство социально-экономических решений приходится принимать с учетом противоречивых интересов, относящихся либо к различным лицам или организациям, либо к различным аспектам рассматриваемого явления, либо к тому и другому. В таких случаях невозможно применить традиционные методы оптимизации. В обычных экстремальных задачах речь идет о выборе решения одним лицом, и результат решения зависит от этого выбора, то есть определяется действиями только одного лица. В такую схему не укладываются ситуации, где решения, оптимальные для одной стороны, совсем не оптимальны для другой и результат решения зависит от всех конфликтующих сторон.

Такие ситуации возникают тогда, когда в операции кроме оперирующей стороны принимают участие лица, преследующие отличные от оперирующей стороны цели. Такие ситуации называются конфликтными. Конфликтный характер таких задач не предполагает вражды между участниками, а свидетельствует о различных интересах. Необходимость анализировать подобные ситуации вызвала к жизни специальный математический аппарат - теорию игр.

Необходимость анализа этих ситуаций при принятии решения потребовала разработку специального математического аппарата, получившего название «Теория игр». Задача теории игр – выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников конфликта. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников в конфликтных ситуациях, то есть определение оптимальной стратегии каждого из них.

Неопределенность может быть вызвана не только стремлением противников скрыть свои действия в игре, но и дефицитом информации и данных о рассматриваемом явлении.

Основные понятия.

Теория игр - это математическая теория, исследующая конфликтные ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.

Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. Реальные конфликты обычно трудно поддаются формальному описанию, поэтому любая игра является упрощением исходной задачи, в ней отражаются лишь основные, первостепенные факторы, отражающие суть процесса или явления.

Игрой называется всякая конфликтная ситуация, изучаемая в теории игр и представляющая собой упрощенную, схематизированную модель ситуации.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что не включает второстепенные, несущественные для ситуации факторы и ведется по определенным правилам, которые в реальной ситуации могут нарушаться

Всякая игра включает в себя три элемента: участников игры - игроков, правила игры, оценку результатов действий игроков.

Ситуации - возможные исходы конфликта. Каждая ситуация - результат выбора каждым игроком своей стратегии.

Стороны, участвующие в конфликте - игроки, а исход конфликта - выигрыш (проигрыш). Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.

Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми. Для задания такой игры достаточно выписать так называемую платежную матрицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы - стратегиям второго игрока. Элементами матрицы служат выигрыши первого игрока.

Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Поэтому для полного «задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока.

Стратегией игрока называется доступные для игроков действия, в общем случае - это набор правил и ограничений, совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игрок располагает стратегиями , а игрок - стратегиями .

Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.

Такие стратегии называются оптимальными.

При выборе оптимальной стратегии следует полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях , называется платежной матрицей игры и обозначается .

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Отдельная партия в матричной игре реализуется следующим образом. Игрок выбирает одну из строк платежной матрицы (одну из своих чистых стратегий). Не зная результата его выбора, игрок выбирает один из столбцов (свою чистую стратегию). Элемент матрицы, стоящий на пересечении выбранных строки и столбца, определяет выигрыш (проигрыш ).

В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.п.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой.

В экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать) ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры - такие игры называют играми с природой.

Под термином «природа» понимается вся совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку (его называют "статистиком", а соответствующую игру - статистической) приходится принимать решение. Например, формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды, определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уровня спроса и т.п. Здесь в качестве второго игрока выступает размер ожидаемой прибыли, уровень спроса.

В играх с природой степень неопределенности для сознательного игрока (статистика) возрастает. В стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера. Но в статистических играх "природа" может предпринимать и такие ответные действия (реализовать такие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательному игроку (статистику).

Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа и т.п.) действует случайно.

При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно классифицировать задачу, потому что методы, применяемые к антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с природой.