4. Нүкте координаталары. Вектор координаталары

Кеңістікте тік бұрышты координаталар жүйесі берілсін. Кез келген нүктесі үшін векторы нүктесінің радиус векторы деп, ал векторының координаталары нүктенің координаталары деп аталады. Сонда, егер және болса, онда нүктенің координаталары: .

Тік бұрышты декарттық координаталар жүйесінде және нүктелері берілсін. векторының координаталарын табайық.

Сонымен векторының координаталары:

.

Векторлардың скаляр көбейтіндісі

және векторларының скаляр көбейтіндісі деп олардың модульдері мен олардың арасындағы бұрыш косинусына көбейтіндісіне тең санын атайды . Сонда

(І.5)

Скалярлық көбейтіндінің қасиеттері:

.

.

.

.

.

. егер және векторлары берілсін. Онда

яғни

(І.6)

(І.5) формуладан және векторларының арасындағы бұрышты анықтайық: немесе

.

Осыдан және векторларының перпендикулярлық шарты:

.

Векторлардың векторлық көбейтіндісі

Ретімен алынған компланар емес векторлары берілсін. Егер векторының ұшынан қарағанда векторының векторына жақын тұспен бұрылуы сағат тіліне қарама-қарсы болса, онда - оң үштік векторлар, ал сағат тілімен бағыттас болса, онда - теріс үштік векторлар деп аталады.

және векторларының векторлық көбейтіндісі деп келесі үш шартты қанағаттандыратын векторларын айтады:

1. векторының модулі және векторларының модульдері мен осы екі вектор арасындағы бұрыш синусының көбейтіндісіне тең:

;

2. - әрбір және векторларына ортогональ, яғни ол және арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр;

3. векторлары - ретгелген - оң үштік векторлар.

Векторлық көбейтінді анықтамасынан орттарының арасындағы келесі теңдіктер шығады:

, , .

теңдігін дәлелдейік.



1. , ;

2. , ;

3. векторларының оң үштікті ұйымдастырады. ■

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:

. (антикоммутативтік);

. (дистрибутивтік (векторларды қосуға қатысты));

. (ассоциативтік (санға көбейтуге қатысты));

. Егер болса, онда және векторлары коллинеар векторлар.

және

векторлары берілсін. Олардың векторлық көбейтіндісін табайық.

немесе

.

Векторлардың аралас көбейтіндісі

векторларының аралас көбейтіндісі деп векторларының векторлық көбейтіндісі мен векторының скаляр көбейтіндісін атайды:

.

Аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасын анықтайық. Қырлары векторлары болатын параллелепипед салайық

және деп белгілейік. Сонда , , мұнда - және векторларына салынған параллелограмм. Ал сол үштік вектоорлар үшін ( - параллелепипед биіктігі). Сонымен:

немесе ,

мұнда - векторларына салынған параллелепипедтің көлемі.

Аралас көбейтіндінің қасиеттері:

. ;

. ;

. ;

. Егер болса, онда - компланар.

, , .

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар:

1. Векторларға қолданатын сызықтық амалдар.

2. Коллинеар және компланар векторлар.

3. Векторлардың сызықтық тәуелділігі, қасиеттері.

4. Векторлық кеңістіктің базисі, өлшемі.

5. Векторлардың координаталарымен анықталуы, қасиеттері.

6. Ортонормаланған базис.

7. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі, олардың алгебралық және геометриялық қасиеттері.

8. Ортогональдық векторлар. Берілген В базисінен жаңа В' базисіне көшкендегі жазықтықтағы және кеністіктегі векторлардың координаталарын түрлендіру.

9. Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі, қасиеттері.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 10-11.

Тақырып: Координаттар әдісі. Жазықтықтағы түзу. Түзулердің өзара орналасуы

Мақсаты: Жазықтықтағы түзу ұғымы, аффиндік жазықтықтағы түзу, координаталар жүйесін қарастыру. Жаңа координаталар жүйесіне көшкендегі нүктенің координаталарын түрлендіру формулаларын қарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Жазықтықтағы және кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі

2. Жаңа координаталар жүйесіне көшкендегі нүктенің координаталарын түрлендіру формулалары

1. Аффиндік жазықтығындағы түзу

2. Евклид жазықтығындағы түзу

3. Бір ТДЖК-ен екіншіге көшкендегі нүктенің координаттарын түрлендіру формулалары

Жазықтықтағы және кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі

Жазықтықтағы аффиндік координаттар жүйесі деп және базисінен құрылған және жұбын атайды.

Сонда егер кеңістігінің базисін, ал кеңістігінің базисі болса, онда

- жазықтықтағы аффиндік координаталар (репер) жүйесі болады;

- кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі (репер) болады.

реперінде нүктенің координаталары деп сәйкес базистегі

векторының координаталарын атайды:

Егер және нүктелерінің координаталары белгілі болса, онда векторының координаталары

.

нүктелерінің жай қатынасы деп шартын қанағаттандыратын шартын атайды.

нүктені бөлуші нүкте деп атайды.

Егер және нүктелерінің координаталары мен сан белгілі болса, онда нүктесінің координаталары келесі формулалар бойынша

, , ,	, , , .

табылады.

Жаңа координаталар жүйесіне көшкендегі нүктенің координаталарын түрлендіру формулалары

және - аффиндік реперлер. Мұнда

,

, , .

нүктенің бастапқы координаталарын жаңа координаталары арқылы өрнектеп жазайық.

нүктелері үшін теңдігі орындалады. Осыдан

.

Осыдан векторлары векторлары арқылы өрнектеп жазып жаңа координаталар жүйесіне көшкендегі нүктенің координаталарын түрлендіру формулаларын табамыз:

(*)

Ескерту 1. Егер болса, онда координаттар бас нүктесі өзгермейді, өзгеретіні – базис.

Ескерту 2. Егер базис өзгермесе, онда (*)-дан координаталар бас нүктесін көшіргендегі нүктенің координаталарын түрлендіру формуласы келесі түрде жазылады:

Аффиндік жазықтығындағы түзу

Түзудің анықталу тәсілдері.

1. нүкте арқылы өтетін және бағыттаушы векторымен анықталатын түзуі берілсін.

Берілген түзуге параллель кез келген нөлдік емес вектор түзудің бағыттаушы векторы деп аталады. Сонда түзудің шексіз көп бағыттаушы векторлары болады.

, мұнда .

Сонымен

(3.1)

түзуінің теңдеуі.

2. және нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін анықтайық.

векторын бағыттаушы вектор ретінде қарастырсақ, онда түзудің теңдеуі келесі түрде жазылады:

немесе (3.2)

3. Түзудің кесінділік теңдеуі.

координаталар өстерінде нүктесінен бастап ұзындықтары және болатын кесінділерді өлшеп салайық. Сонда жүйесінде және нүктелерінің координаталары: , . Сонда түзуінің теңдеуін жазуға болады:

(3.3)

4. Түзудің параметрлік теңдеуі.

түзуі нүкте арқылы өтсін және бағыттаушы векторымен анықталсын.

Сонда, егер

немесе (3.4)

(3.4)-ің геометриялық мағынасы: қандайда нақты саны үшін координаталары (3.4) теңдеулерін қанағаттандыратын нүктесі түзуде жатады.

5. Түзудің жалпы теңдеуі.

Қарастырылған жағдайларда аффиндік координаттар жүйесінде түзу бірінші дәрежелі теңдеумен анықталады. Кері тұжырым да дұрыс.

Теорема. Аффиндік координаттар жүйесінде (3.5) бірінші дәрежелі теңдеумен анықталатын сызық – түзу болады. векторы осы түзудің бағыттаушы векторы.

Дәлелдеу. сандары (3.5) теңдеуін қанағаттандыратындай нүктесін таңдайық, яғни (3.6) теңдігі орындалады. (3.5) және (3.6) теңдеулерінен немесе теңдеуі шығады. Бұл теңдеу нүктесі арқылы өтетін және бағыттаушы векторымен анықталатын түзу.

6. Екі түзудің өзара орналасуы.

Аффиндік координаттар жүйесінде және түзулер теңдеулерімен берілсін:

;

түзуінің бағыттауыш векторы.

түзуінің бағыттауыш векторы.

және түзулерінің өзара орналасуына үш жағдайда болуы мүмкін.

1. Егер параллель емес онда және түзулері қиылысады, яғни ,

2. Егер ,

3. Егер ,

онда және параллель орналасады.

7. Жазықтықтағы түзулер шоғы.

Жазықтықтаға нүкте арқылы өтетін осы жазықтықтағы барлық түзулер жиыны центрі нүктесінде орналасатын түзулер шоғы деп аталады. Сонда түзулер шоғын анықтау үшін оның цнетрін анықтау керек. Ал кез келген екі түзудің қиылысуымен анықталады. Сонымен, екі қиылысатын түзулердің теңдеулерімен түзулері жоғын бір мәнді анықтауға болады.

нүктесінде қиылысатын және түзулері теңдеулерімен берілсін:

, ( ; бірдей нөлге тең емес; ) теңдеу – цнетрі нүктесінде орналасқан түзулер шоғының теңдеуі.

Евклид жазықтығындағы түзу

базис ортонормаланған базис болса, онда жазықтықтағы координаттар жүйесін тік бұрышты декарттық координаттар жүйесі деп атайды және деп белгілейді.

Тік бұрышты декарттық координаттар жүйесінде (ТДКЖ) аффиндік координаттар жүйесінде (АКЖ) шығарылатын барлық есептерді және метрикалық есептерді шешуге болады, яғни:

а) ұштарының координаттары арқылы вектордың координаттарын табу

;

б) кесіндіні берілген қатынаста бөлетін нүктенің координаттарын табу

;

в) сызықтардың теңдеулерін жазу, мысалы түзудің:

( немесе ) – түзудің жалпы теңдеуі, - түзудің бағыттауыш векторы. векторы түзуге перпендикуляр .

ТДКЖ ерекшеліктері: ТДЖК-да:

1. Ұштарының координаттары арқылы вектордың және кесіндінің ұзындығын табуға болады.

;

2. Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтықты;

3. Параллель түзулердің ара қашықтығын;

4. Түзулердің арасындағы бұрышты табуға болады.

түзу жалпы теңдеуімен берілсін. Теңдеудің екі жағын санына бөліп және ; ; белгілеп түзудің нормальдық теңдеуін табамыз:

, (3.6)

(3.6) теңдеудің геометриялық мағынасы:

1. - түзудің нормалі мен өсінің арасындағы бұрыш, яғни , мұнда векторларының арасындағы бағытталған (ориентированный) бұрыш.

- түзудің нормалі.

2. түзуі жалпы теңдеуімен берілсін, ал . Сонда нүктесінен түзуіне дейінгі ара қашықтық

(3.7)

формуласымен анықталады.

Ескерту. (3.7) формуласы түзудің нормальдық теңдеуіндегі коэффициентінің геометриялық мағынасын түсінуге мүмкіндік береді.

нүктесінен түзуіне дейінгі ара қашықтықты есептейік:

.

Сонымен, .

Екі түзудің арасындағы және түзулерін қарастырайық:

, - түзудің бағыттаушы векторы.

, - түзудің бағыттаушы векторы.

Осы түзулердің қиылысуында екі жұп вертикаль бұрыштар пайда болады. Олардың ең кіші түзулердің арасындағы бұрыш деп аталады да түрінде белгіленеді.

(суретте екінші жағжай көрсетілген)

Түзулердің перпендикулярлық шарты:

.

Түзулердің параллельдік шарты:

.

Бір ТДЖК-ен екіншіге көшкендегі нүктенің координаттарын түрлендіру формулалары

Екі ТДКЖ берілсін: және . Екі жағдай кездесуі мүмкін:

1. (сурет а);

2. (сурет б).

- ден - ке көшіру матрицасын құрастырайық. Бірінші бағана вектордың базисіндегі координаталардан тұрады, яғни екі жағдайда да , мұнда . Бағытталған бұрыш келесі формуламен анықталады:

	-а) жағдайда;
	-б) жағдайда

Сонда ;

	-а) жағдайда;
	-б) жағдайда.

Осыдан - а) жағдайда,

- б) жағдайда.

Сонымен, келесі формулалар шығады:

(3.8)

(3.9)

Өзін-өзі бақылауға арналған сұрақтар:

1. Жазықтықтағы аффиндік координаттар жүйесі.

2. Кеңістіктегі аффиндік координаттар жүйесі.

3. Аффиндік реперлер

1. Түзудің кесінділік теңдеуі

2. Нүктеден түзуге дейінгі ара қашықтықты

3. Параллель түзулердің ара қашықтығы

4. Түзулердің арасындағы бұрыш

Әдебиеті: [1], [3], [4].

№12 -13 сабақ.

Тақырып: Векторлық кеңістіктер, ішкі кеңістіктер. Өлшемі және базисы. Біртектес сызықтық теңдеулер жүйесінің шешулерінің фундаментальді жүйесі.

Сабақтың мақсаты: Студенттерге векторлардың сызықты тәуелділігі туралы түсінік беру. Векторлар жүйесінің базисі және ранг қасиеттерін баяндау. Студенттерге Евклид кеңістігі,оның нормасы, ортонормалданған векторлар жүйесі және базис, ортогонал толықтауыш түсінігін беру. Евклид кеңістігінің негізгі қасиеттерімен таныстыру

Қарастыратын сұрақтар:

1. Векторлардың сызықты тәуелділігі.

2. Векторлар жүйесінің базисі және ранг.

3. Базис бойынша векторларды бөліп- ажырату.

а) Нақты евклид кеңістігінің анықтамасы және оның қасиеттері.

б) Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері.

в) Ортонормалданған векторлар жүйесі және оның қасиеттері.

г) Ортонормалданған базисте координаттарымен өрнектелген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

д) Ортогонал толықтауыш

е) Евклид кеңістігінің изоморфтылығы.

Векторлардың сызықты тәуелділігі.

Әр түрлі есептерді шығарған кезде, бір вектормен ғана емес кейбір бір тектес векторлар жиынымен әрекеттер жасауға тура келеді.Мұндай жиынды векторлар жүйесі деп атайды да, оларды бір әріппен және реттік нәмірмен белгілейді:

а₁,а₂,....,а_к (1)

1-анықтама. (1)өрнектегі векторлардың сызықтық комбинациясы деп мына түрдегі векторлады атайды:

b=λ₁а₁+λ₂а₂ +λ_ка_к (2)

Мұндағы,λ₁,...λ_к-кез-келген нақты сандар.

Мысалға айталық үш вектор берілсін, а₁=(1,2,0),а₂=(2,1,1)және а₃=(-1,-1,-2). Олардың 2,3 және 4 коэффициенттерімен бірге сызықтық комбинациясы: b=(4.15.-5)

(2)-теңдігіне сәйкес b векторы (1) вектор жүйесі арқылы сызықты өрнектелінеді немесе осы векторлар бойынша бөлініп ажырайды делінеді.

2-анықтама. Егер бір мезгілде бәрі бірдей нөлге тең болмайтын мынадай λ₁,λ₂....,λ_к сандар бар және осы сандардың векторлар жүйесі нөлге тең болмайтын векторлар жүйесімен сызықтық комбинациясы нөлдік векторға тең болса, яғни

λ₁а₁+λ₂а₂+...+λ_к а_к=0 (3)

онда (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады.

Егер (3) теңдігі (4) векторлар жүйесі үшін мына: λ₁=λ₂₌....=λ_к=0 жағдайда ғана орындалса, онда осы векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз делінеді.

Мысалға, а₁=(1,0),а₂=(0,2)-екі векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз,ал b₁=(1,2,1) және b₂=(2,4,2) – векторлар жүйесі сызықты тіелді, себебі b₂- 2b₁=0

Айтйлық (1) векторлар жүйесі сызықты тәуелді векторлар (3) қосындысын λ_s-коэффициенті нөлге тең емес(λ_s=0) қосындыларын таңдап алып, оларды басқа қосындылар арқылы өрнектейік:

а_s=- λ₁а₁/ λ_s- λ₂а₂ / λ_s -....- λ_s-1а_s+1/ λ₂-....- λ_к а_к / λ_s

Теңдіктен (1.7) сызықты тәуелді векторлар жүйесінің бір векторы, осы жүйенің басқа бір векторы арқылы өрнектелгені (немесе басқа векторлар бойынша бөлініп ажырағаны) байқалады.

Сызықты тәуелді векторлар жүйесінің қасиеттерін көрсетейік.

1. Бір вектордан тұратын жүйе – сызықты тәуелді.

2. Нөлдік векторы бар жүйе әрқашанда – сызықты тәуелді.

3. Бірнеше векторлардан тұратын жүйе, векторлардың ішінде басқалармен сызықты өрнектелетін бір вектор болған жағдайда ғана сызықты тәуелді бола алады.

Геометриялық тұрғыдан қарасақ екі өлшемді векторлар жазықтықта, ал үш өлшемді векторлар кеңістікте сызықты тәуелді болуы мүмкін екені белгілі.Бір векторды екінші бір вектормен өрнектеген жағдайда:

а₂= λа₂ бұл векторлар коллинеарлы делінеді, яғни олар параллельді жазықтықта жатады, яғни олар компланарлы делінеді.Арнайы көбейткіштер арқылы осы векторлардың ұзындықтарын бейнелеу және біреуін екеуінің қосындысымен немесе солармен өрнектеу үшін түзету (енгізу) жеткілікті.

Төмендегі теорема осы айтылған мәселелер жөнінде маңызды.

1-теорема. Rⁿ кеңістікте m векторларды ұстайтын кез келген жүйе мына m>n жағдайда сызықты тәуелді.

Векторлар жүйесінің базисі және ранг.

а₁,а₂,....,а_к –векторлар жүйесін қарастырайық.Жекелеп жиналған векторлар жүйесі және мынадай екі жағдайды қанаңаттандыратын:а) жиындардың векторлары сызықты тәуелсіз;б) жүйенің кез келген векторы осы жиындағы векторлрмен сызықты өрнектелетін векторлар осы жүйелердің максималь тәуелсіз қосымша жүйесі деп аталады.

Берілген векторлар жүйесінің барлық максимальды тәуелсіз қосымша жүйелері бір векторлар санын құрайды деп бекітілген теорема нақты. Векторлар жүйесінің максимальды тәуелсіз қосымша жүйедегі векторлар базистік деп, ал базиске кірген векторлар базистік векторлар деп аталады.Векторлар жүйесінің базистік векторларының саны олардың рангі делінеді.

Мысалға, мына векторлар жүйесінің:

А₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

А₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

А_m=( а_m1,а_m2,.. ..,а_mn)

рангі деп осы жүйедегі сызықты тәуелсіз векторлардың максимальды санын айтады. Векторлар жүйесінің рангі А матрицасының, осы жүйесінің векторларының компоненттерінен құралған рангіне, яғни А матрицасының минорының нөлден басқа ең жоғары ретіне тең.

Мысал. Мына векторлар А₁=( 5,4,3,2), А₂=( 3,3,2,2), А₃=( 8,1,3,-4) жүйесі сызықты тәуелді ме? Егер сызықты тәуелді болса, онда оныңмаксимальды сызықты тәуелсіз қосымша жүйесін анықтау керек.

Шешуі. Векторлардың компоненттері арқылы матрица құрып, оның рангін анықтайық.

А=[5 4 3 2

3. 3 2 2

8. 1 3 -4]

Екінші ретті минор:[5 4

3. 3]

Үшінші ретті екі минорды есептейік:

[5 4 3 [5 4 2

3 3 2 3 3 2

8 1 3 ]=118-118=0; 8 1-4]=2(59-59)=0.

А матрицасының рангі 2-ге тең, сондықтан векторлар жүйесі тәуелді. Себебі, векторлар жүйесінің кез келген компоненттері арқылы құрылған екінші ретті минорлар нөлге тең емес.

Сондықтан максимальды сызықты тәуелсіз қосымша жүйе екі кез келген векторлардан тұрады, ал үшінші вектор олардың сызықтық комбинациялары.

Базис туралы түсінік n өлшемді векторлардың шексіз жиынтықтарынан тұратын кеңістіктегі Rⁿ –де бөлініп-ажырайды.

3-анықтама. n векторлар жүйесі Rⁿ кеңістікте базис деп аталады ,егер

1.осы жұйенің векторлары сызықты тәуелсіз болса

2. Rⁿ-ң кез келген векторы осы жүйенің векторларымен сызықты өрнектелсе.

Кез келген базисте векторларды бейнелеу.

Айталық

а₁,а₂,....,а_m (1.9)

векторлар жүйесі базистік, ал b олардың сызықтық комбинациясы болсын. Онда мына теорема орынды.

2 – теорема. Базисте кез келген векторды бөліп-ажырату мүмкін болса және осындай әрекет нақтылы орындалса, онда ол жалғыз ғана.

Дәлелдеу. Вектор b, (1.9) өрнектегі векторлардың сызықтық комбинациялвры арқылы екі тәсілмен берілсін.

b=α₁a+ α₂a₂+…..+ α_ma_m және b=β₁a+ β₂a₂+…..+ β_ma_m

мұндағы α_i және β_i - бір-біріне дәл келмейтін сандар жиыны.Бұл жиындарда міндетті түрде бір-біріне дәл келмейтін нөлге тең емес сандар болуға тиісті.

Біріншісінен екінші теңдікті алып тастап мынадай өрнекті алайық.

(α_{1 +} β₂)* α₁+(α_{2 -} β₂)* α_2+.........+(α_m– β_m)* α_m=0

Алынған теңдік (1.9) өрнектегі векторлар жүйесінің сызықтық комбинациялары. Онда коэффициенттердің барлығы бірдей нөлге тең емес.(себебі α_i және β_i - бір-біріне дәл келмейді).Теңдік нөлге тең, яғни берілген жүйе сызықты тәуелді болып шықты. Бұл жағдай теореманың шартына қарсы.Сөйтіп алынған қайшылық теореманың нақтылығын дәлелдейді.

Сонымен Rⁿ кеңістікте кез келген базисте

а₁,а₂,....,а_n (1.10)

осы кеңістіктің кез келген векторын мына түрде бөліп – ажырату арқылы бейнелеуге болады.

b=α₁a+ α₂a₂+…..+ α_na_n (1.11)

және бұл бөліп- ажырату берілген базис үшін жалғыз ғана.

Бөліп- ажырату коэффициенттері а₁,а₂,....,а_n b-векторының (1.10) базистегі координаттары деп аталады және жоғарыда айтылғандай біл жиын Rⁿ-ң кез келген векторлары үшін жалғыз ғана.

Жалпы айтқанда, (1.10) –ды кез келген базисінде бөліп- ажырату коэффициенттерін табу есебі оңай емес. Сол жақтан бастап сызықты комбинациялау векторларының координаттарын b-векторының (1.11) координаттарымен теңестіру керек. Базистік векторлармен b-векторының координаттары мынадай қалыпта берілсін

а₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

а₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

a_n=( а_n1,а_n2,.. ..,а_nn)

b=( b₁,b₂,.. ..,b_n)

Жоғарыда жазылған тәсілдермен белгісіз n координаттар бойынша b-векторды (1.10) базиске бөліп- ажырату барысында n сызықтық теңдеулер жүйесіне өтеміз

а₁₁а₁+а₁₂а₂+…+а_1nа_n=b₁

а₂₁а₁+а₂₂а₂+…+а_2nа_n=b₂

… … …

А_n1а₁+а_n2а₂+…+а_nnа_n=b_n

Мұндай теңдеулер жүйесі және оларды шешу әдістері арнайы пәнде, яғни векторлық алгебрада кеңірек қарастырылады. Келесі бөлімдерде қарастырылатын қолданбалы математикалық әдістерге оларды онша қажеті болмағандықтан әрі қарай векторлық алгебраның бұл бөлімдеріне тоқталмаймыз.

а) Нақты евклид кеңістігінің анықтамасы және оның қасиеттері.

Анықтама. Нақты сызықты векторлық R кеңістіктің кез келген екі х,у R элементіне (векторына) скаляр көбейтінді деп аталатын (х, у) нақты саны сәйкес келсе және оған мына төмендегі аксиомалар орындалса:

1. (х, у) = (у, х),

2. ( х, у) = (х, у), — нақты сан,

3. (х + у, z) = (х, z) + (у, z),

4. (х, х) > 0, егер х 0, (х, х) = 0, егер х = 0,

онда бұл кеңістікті нақты Евклид кеңістігі деп атайды.

Евклид кеңістігі кез келген шекті өлшемді немесе шексіз өлшемді болып бөлінеді.

Скаляр кебейтіндінің 1) — 3) аксиомаларын пайдаланып, оның мына төмендегі қасиеттерін дәлелдейік:

1. (х, у) = (х, у).

2. (х, у + z) = (х, у) + (х, z).

3. ( х + ... + ) = +... +

4.

Шынында да,

1. (х, ) = ( у,х) = (у, х) = (х, у).

2. (х, у + z) = (у + z, х) = (у, х) + (z, х) = (х, у) + (х, z).

3.( + ... + а_кх_к, у) =

4.

Мысалдар.

1. [а, b] сегментінде анықталған және үзіліссіз х (t) функциялар жиынын қарастыралық, яғни х(t) . Енді х (t),у(t) функциялары жиынының элементтері болсын: х(t), у(t) және олардың скаляр көбейтіндісі:

(х(t),у(t)) =

формуламен өрнектелсін.

анықталған скаляр көбейтіндіге жоғарыдағы төрт аксиома орындалады. Олай болса үзіліссіз функциялар [а,b ] жиыны евклид кеңістік: және ол шексіз өлшемді.

2. Нақты п сандар жиынын вектордың координаттары деп қарастыралық: x =

x = пен у=(у векторларды қосу, оларды нақты санға көбейту (х + у) =

формуларымен анықтайық, ал олардың скаляр көбейтіндісін

(2)

формуламен өрнектейік, (2) формуламен өрнектелген скаляр көбейтіндіге анықтамадағы төрт аксиома түгелімен орындалады. Олай болса, бұл векторлар жиыны n-өлшемді евклид кеңістік.

б)Евклид кеңістігінің нормасы және оның қасиеттері

Евклид R кеңістігінің анықтамасындағы 4-аксиома бойынша кез келген

х 0 элементтің (вектордың) скаляр (х, х) көбейтіндісі нақты оң сан. Сондықтан, бұл скаляр (х, х) көбейтіндіден квадрат түбір былай табылады:

Анықтама. Евклид R кеңістігінің х 0 элементіне сәйкес келетін (х, х) скаляр көбейтіндінің квадрат түбірін оның нормасы (немесе ұзындығы, модулі) деп атаймыз және оны символымен белгілеп, мына төмендегі = формуламен өрнектейміз.

Теорема. Евклид R кеңістігінің кез келген х,у элементіне Коши

(х, у)² (х, х) (у, у) (3)

немесе

теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеуі. Егер нақты сан болса, онда х-у векторы үшін

( х - у, х - у) 0

теңсіздігі орындалады.

Бұдан (х,х)-2 (х,у) + (у,у) 0.

-байланысты бұл квадратты үшмүшеліктің теріс болмауы үшін оның дискриминанты оң болмауы:

(х, у)² - (х, х) (у, у) 0.

қажетті әрі жеткілікті. Осы теңсіздіктен (4.3) теңсіздігі алынады. Теорема дәлелденді.

Теорема. Евклид R кеңістігінің кез келген екі элементіне (векторына):

(4)

үшбұрыш теңсіздігі орындалады.

Дәлелдеуі. Норманың және скаляр көбейтіндінің анықтамасы бойынша:

(3)Коши теңсіздігін ескерсек, онда

Теорема дәлелденді.

Ескерту.. Егер х, у векторлары сызықты тәуелді болса: х = у, онда (4.3) теңсіздігі теңдікке айналады:

Шынында да,

2. Егер х, у векторлары сызықты тәуелсіз болса: , онда (4.4) теңсіздігі мына түрде жазылады:

<

Шынында да, х- у векторы үшін:

(х - у, х - у) > 0 немесе (х, х) - 2 (х, у) + (у, у) > 0,

Бұдан <0 немесе <

Ескерту. Егер х және у векторлары бағытталған кесінділер болса, онда (4.4) үшбұрыш теңсіздігінен шығатын қорытынды: үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы оның басқа екі қабырғасының ұзындықтарының қосындысынан кіші.

Нақты евклид кеңістігінде берілген екі векторлардың арасындағы бұрышты

(4.5)

формуламен анықтауға болады.

Егер теңсіздігін ескерсек, онда (4.5) формуладан Коши теңсіздігін аламыз.

Теорема. Егер берілген векторын кез келген нақты санға көбейтсек, онда х вектордың ұзындығы берілген x вектордың ұзындығы мен санының модулінің көбейтіндісіне тең:

Дәлелдеуі.Норманың анықтамасын ескерсек, онда

Теорема дәлелденді.

в) Ортонормалданған векторлар жүйесі және оның қасиеттері.

Анықтама. Егер евклид R кеңістігіндегі

(4.6)

векторлар жүйесіне

теңдіктері орындалса, онда (4.6) векторларды ортонормалданған векторлар дейміз, егер (4.7) теңдіктердің тек бірінші теңдіктері ғана орындалса, онда оны ортогоналды векторлар деп атаймыз.

Теорема. Нөлдік вектор кез келген векторға ортогонал: (х, 0) = 0, .

Дәлелдеуі. Кез келген у векторға (х, у) = 0 теңдеуі орындалсын делік. Дәлелдеу керек х=0. у = х болғанда (х, х)=0. Бұдан х = 0. Теорема дәлелденді.

Теорема (Пифагор). Егер х, у векторлары ортогонал болса: (х, у) = 0, онда

Дәлелдеуі. Егер (х, у)=0 болса, онда (4.5) формуладан соs = 0, яғни Ендеше х, у векторлары бір-біріне перпендикуляр: х у. Олай болса, тік бұрышты үшбұрыштың катеттері, оның гипотенузасы ретінде қарастырылады. Норманың анықтамасы бойынша:

Теорема дәлелденді.

Теорема. Ортонормалданған векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.

Дәлелдеуі. Берілген векторлардың сызықты тәуелсіз екенін дәлелдеу үшін

(4.8)

теңдеуді қарастырып, оның тек болғанда ғана орындалатынын дәлелдесек жеткілікті. Ол үшін (4.8) теңдеудің екі жағында l векторына скаляр көбейтелік, яғни:

Осыдан

i-дің біртіндеп 1,2,...,n мәндерін қабылдағанын және ортонормалданған векторлар екенін ескерсек, онда . Теорема дәлелденді.

Теорема. Егер евклид R кеңістігіндегі сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді ортогоналды векторлар жүйесі мына төмендегі

(4.9)

формулалармен өрнектеледі, мұндағы

(4.10)

Дәлелдеуі. Теореманы индукция әдісімен дәлелдейміз. Іздеп отырған векторын берілген векторға тең деп аламыз: ал векторды

(4.11)

теңдеуінен анықтаймыз, мұндағы белгісіз тұрақты коэффициент. Егер болса, онда векторлары сызықты тәуелді, ал бұл теореманың шартына қарама қайшы, себебі сызықты тәуелсіз. Сондықтан, . Белгісіз коэффициентті табу үшін (4.11) тендікті векторына скаляр көбейтеміз:

Іздеп отырған вектор белгілі векторына ортогонал болу керек:

= 0. Онда

Сонымен, (4.9), (4.10) формулалардың i = 2 ,j=1 тең жағдайлары дәлелденді.

ортогонал векторларын (4.9)-дан, оның коэффициенттерін (4.10) формуламен өрнектелетіндей етіп векторын ізделік. Ол е_к векторды

(4.12)

теңдігінсн анықтаймыз, мұндағы белгісіз тұрақты коэффициенттер. Егер , онда векторлары сызықты тәуелді, ал ол теореманың шартына қарама қайшы. Ендеше, . Белгісіз _,тұрақты коэффициенттерді табу үшін, (4.12) теңдеуді векторларына біртіндеп скаляр кебейтіп және ортогонал векторлар екенін ескеріп, белгісіз коэффициенттері (4.10), формулалардан анықталатынын дәлелдейміз. Теорема дәлелденді.

Жоғарыдағы теореманы дәлелдеу әдісін, яғни берілген сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінен ортогоналды векторлар жүйесін құру әдісі, ортогонализациялау тәсілі деп аталады.

Теорема. Егер евклид кеңістігіндегі ортогоналды векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді ортонормалданған векторлар жүйесін мына төмендегі

(4.13) (4.13)

формулалармен өрнектеуге болады.

Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін (4.13) формулалармен өрнектелген ортонормалданған векторлар жүйесі екенін дәлелдесек жеткілікті. Шынында да, егер болса, онда:

ал егер i= j болса, онда

Теорема дәлелденді.

Теорема. Кез келген п өлшемді евклид R кеңістігінде п вектордан құрылған ортонормалданған базис бар.

Дәлелдеуі. векторлар жүйесі евклид R кеңістігінің базисі болсын делік. Сондықтан, 4.7-теорема бойынша векторларына сызықты тәуелді ортогонал векторлар жүйесін құрамыз: Енді 4.8-теореманы пайдаланып, векторларына сызықты тәуелді , ортонормалданған вектор жүйесін құрамыз, ал ол жүйе 4.6-теорема бойынша сызықты тәуелсіз, яғни евклид R кеңістігінің ортонормалды базисі. Теорема дәлелденді.

Мысал. [-1,1] сегментте анықталған дәрежесі үштен аспайтын көпмүшеліктер кеңістігіндегі ортогонал базисті табалық.

Ортогонал базисті табу үшін элементтерін базис ретінде қарастыралық. Енді 1, элементтеріне сызықты тәуелді ортогонал базис ізделік. (4.9) формула бойынша:

Мұндағы .

Сонымен,

(.9) формуладан

мұндағы

Сонымен,

Ең соңында (4.9) формуладан:

мұндағы

Сонымен,

г) Ортонормалданған базисте координаттарымен өрнектелген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

Теорема. Евклид R_п кеңістігіндегі кез келген екі вектордың скаляр көбейтіндісі

(1)

формуламен өрнектелу үшін, оның базисі ортонормалданған болуы қажетті әрі жеткілікті.

Қажеттілігі. (4.14) формула орындалсын деп, базис ортонормалданған болуын дәлелдейік. х пен у векторларын берілген базисте жіктелік:

(4.14) формуладан

Соңғы теңдіктің орындалуы үшін евклид кеңістіктің базисі ортонормалданған болуы жеткілікті:

Жеткіліктігі. Евклид кеңістігінің базисі ортонормалданған болсын деп ұйғарып, (1) формуланы дәлелделік. Ол үшін х пен у векторларыныд скаляр көбейтіндісін қарастырамыз:

Теорема дәлелденді.

Теорема. Евклид кеңістігіндегі ортонормалданған базисте вектордың координаттары :

(4.15)

формуламен өрнектеледі.

Дәлелдеуі. Берілген векторды базис бойынша жіктейік:

Осы жіктеудің екі жағында векторына скаляр көбейтсек және ортонормалданған векторлар жүйесі екенін ескерсек, онда

Теорема дәлелденді.

Анықтама. Егер кез келген векторы кез келген векторына ортогонал болса, яғни (х, у) = 0, онда евклид R кеңістігінің екі ішкі мен кеңістіктерін: өзара ортогонал деп атаймыз, яғни

Теорема. Евклид R кеңістігінің ішкі мен кеңістіктегі бір-бірімен ортогонал болу үшін, яғни кеңістігінің барлық базистері кеңістігінің барлық базистеріне ортогонал болуы қажетті әрі жеткілікті.

Қажеттілігі:

мен кеңістіктері өзара ортогонал болсын деп ұйғарайық, яғни Онда анықтама бойынша кеңістігінің барлық базистері кеңістігінің барлық базистеріне ортогонал болады.

Жеткіліктілігі:

векторлар жүйесі кеңістігінің базисі, ал кеңістгінің базисі болсын және теңдіктері орындалсын деп есептелік. Енді кез келген векторлардың сәйкес базистерде жіктеулерін

алып, олардың скаляр кебейтіндісін қарастыралық. Онда

яғни кез келген векторлары ортогонал немесе Теорема дәлелденді.

Теорема. Егер евклид кеңістігінің екі ішкі мен кеңістіктері өзара ортогонал болса: онда олардың қиылысуы нөл вектор болады:

Дәлелдеуі. Кез келген х вектор кеңістігінің элементі болсын деп ұйғаралық, яғни Онда және (х, х) = 0. Бұдан х = 0. Теорема дәлелденді.

Айталық, евклид R кеңістігінің кез келген ішкі кеңістігі берілсін: ал оның ортонормалданған базисі болсын делік. Енді ол базисті евклид кеңістігінің ортонормалданған базисіне дейін толықтыралық, яғни мұндағы п — diт R, k = dim . векторлар жүйесі евклид R кеңістігінің өлшемі (n - k)-ға тең ішкі кеңістігін құрастырады, яғни

Теорема. Егер кез келген вектор ішкі кеңістігінің кез келген векторына ортогонал болса: , онда х ішкі кеңістігінің векторы:

Дәлелдеуі. Теореманың шарты бойынша және , яғни ,

Енді х вектордың жіктелуінің екі жағында векторларына біртіндеп скаляр көбейтелік:

Егер ортонормалданған векторлар және екенін ескерсек, онда

Демек, х вектордың жіктелуі мына түрде жазылады:

Бұдан, . Теорема дәлелденді.

Анықтама. Егер векторлар жиыны ішкі кеңістігінің кез келген векторына ортогонал болса, онда ондай векторлар жиынын ішкі кеңістігінің ортогонал толықтауышы деп атаймыз, ал ол ішкі кеңістікті символымен белгілейміз мұндағы — пернендикуляр таңбасы.

Теорема. Егер және dіт =k, dіт онда немесе dіт +dim .

Дәлелдеуі. векторлар жиыны ішкі кеңістігінің базисі, ал нақты сандар жиыны вектордың координаттары болсын деп ұйғаралық:

векторлар жиыны евклид R кеңістігінің ортонормалданған базисі болсын (4.9-теорема). Онда:

(4.16)

мұндағы берілген вектордың координаттары.

Берілген вектор ішкі кеңістігінің элементі болу үшін, яғни ,

(4.17)

теңдіктердің орындалуы қажетті әрі жеткілікті (4.12-теорема). Енді (4.16) формулаларды (4.17) теңдіктерге қойып, және ортонормалданған векторлар екенін ескерсек, онда

(4.18)

мұндағы вектор х-тің координаттары. Бұл (4.18) біртекті сызықты теңдеулер жүйенің матрицасының рангісі k. Сондықтан, (4.18) жүйенің (n - k) сызықты тәуелсіз шешімі бар. Олай болса, . Теорема дәлелденді.

Жоғарыдағы теоремаларды ескеріп, мына төмендегі тұжырымға келеміз.

е) Евклид кеңістіктерінің изоморфтылығы.

Анықтама. Егер екі евклид R мен R' кеңістіктерінің элементтері (векторлары) арасында бір мәнді сәйкестік анықталып: төмендегі шарттар орындалса, онда олар изоморфты болады. Бұл жағдайда:

1) егер R кеңістігінің х, у элементтеріне R' кеңістігінің элементтері сәйкес келсе: онда элементіне элементі сәйкес келеді,

2) егер онда мұндағы — кез келген нақты сан,

3) егер онда Сонымен, олар сызықты кеңістіктер ретінде изоморфты болса және олардың екі сәйкес элементтерінің (векторларының) скаляр көбейтінділері өзара тең болса, онда екі Евклид R мен R' кеңістіктері изоморфты болады.

Теорема. Бірдей өлшемді барлық евклид кеңістіктері өзара изоморфты.

Дәлелдеуі. Теормеманы дәлелдеу үшін барлық п-өлшемді евклид кеңістіктері арнаулы алынған бір n-өлшемді евклид кеңістігіне изоморфты болатынын дәлелдесек жеткілікті. Бұл арнаулы n-өлшемді евклид R' кеңістігі ретінде 4.1-тақырыптағы 2-мысалды қарастырайық, яғни онда х' вектор кез келген п нақты сандарының жиыны: ал векторларының скаляр көбейтіндісі (4.2) формуламен өрнектеледі, яғни

п-өлшемді евклид R кеңістігін қарастыралық, ал векторлар жүйесі оның ортонормалды базисі болсын деп ұйғаралық. векторға нақты сандар жиынын, яғни векторын сәйкестендірейік. Бұл келтірілген сәйкестік бір мәнді. Енді оның изоморфты екенін дәлелдейік. Ол үшін анықтамадағы үш шартты тексерсек жеткілікті. Бірінші мен екінші шарттар орындалады. Үшінші шартты тексерелік. мен векторларының скаляр көбейтіндісі 4.10-теорема бойынша мына формуламен өрнектеледі:

ал пен векторлардың скаляр көбейтіндісі 4.1-тақырыпташ 2-мысал бойынша (4.2) формуламен өрнектеледі:

Сонымен, Теорема дәлелденді.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 14-15.

Тақырып: Жазықтықтағы түзу.

Мақсаты: Студенттерге аналитикалық геометрия ұғымдарымен, соның ішінде жазықтықтағы сызық теңдеулерін беру, оларға қолданылатын амалдарды үйрету. Жазықтықтағы түзу үғымы, оның берілу тәсілдерін қарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Түзудің жалпы теңдеуі.

2. Екі түзудің арасындағы бұрыш.

3. Түзудің бұрыштық коэффицент арқылы берілу жолы.

4. Түзудің бұрыштық коэффициентпен берілген теңдеуі.

5. Түзудің кесінділік теңдеуі.

6. Түзудің нормальдық теңдеуі.

7. Түзудің жалпы теңдеуі.

8. Түзудің жалпы теңдеуін нормалдық түрге келтіру.

Бір (а) түзуі ордината осінің бойынан в кесіндісін қиып өтсін, абцисса осінің оң бағытымен а бұрыш жасасын. Осы түзудің теңдеуін табайық. Түзу сызықты координаталар системасында берілген шартына сәйкес жүргізіп, оның бойынан еркімізше бір М нүктесін алайық.

Осы М нүктесінен обцисса осіне МД перпендикулярын жүргізіп, осы оске парраллель ЕГ сызығын жүргіземіз.

ЕМГ тік бұрышты ұшбұрышынан:

бұрышы белгілі болса, да табылады, оны былайша белгілейік: Бұл тангенсті немесе к-ны түзудің бұрыштық коэффициенті деп атайды.

Жоғарыдағы теңдік енді былай жазылады:

Бұдан ізделінді теңдеуді табамыз:

(1)

мұндағы х пен у айнымалы шамалар, в мен к тұрақты шамалар. (1) теңдеуді түзудің бойында барлық нүктелердің координаталары қанағаттандырады. Бұл (1) теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі деп аталады. Егер түзу координаталар бас нүктесінен өтсе, Онда теңдеу мына түрде болады:

Түзудің кесінділік теңдеуі.

Түзу бас нүктеден өтпей, координаталар остерін қиып өтсін .Сонда ОВ=а6 ОД=в В(а;0)6 Д(0;в) болады.Осы түзудің теңдеуін табайық. Есептің шартына сәйкес берілген кесінділерді белгілеп, түзуді жүргізеік. Түзудің бойынан еркімізше бір М(х;у) нүктесін алып, сол нүктеден обцисса осіне МЕ перпендикулярын түсірейік. ОВ=а, ВЕ=а-х, ОД=х, ЕМ=у ОДВ және ЕМВ үшбұрышының ұқсастығынан: Осыдан іздеген түзудің теңдеуің табайық:

(2)

мұнда а мен в берілген кесінділер, х пен у бойындағы кез келген нүктенің координаталары. Осы теңдеуді (2) түзудің кесінділік теңдеуі деп атайды.

Мысал: Обцисса осінен 3-ке тең және ордината осінен 4-ке тең кесі,нділерді қиятын түзудің теңдеуін табу керек.

Шешуі: Берілген кесінділер: а=3; в=4. Сонда (2) формула бойынша түзудің теңдеуі мынандай болады: .

Түзудің нормалдық теңдеуі.

Координаталардың ьбас нүктесінен бір (а) түзуіне жүргізілген перпендикуляр обцисса осінің оң бағытымен а бұрыш жасайды. Бұл перпендикулярдың ұзындығы р болсын Осы (а) түзуінің теңдеуін іздейік. (а) түзуінің бойынан ерекше бір М(х,у) нүктесін алайық. Осы нүкттеден обцисса осіне МЕ перпендикулярын түсірейік.. Онда МЕВ тік бұрышты ұшбұрышы шығады. Мұнда ЕМВ= ОЕ=х, ЕМ=у болады. ОДВ тік бұрышты үшбұрышынан

Осыдан

ЕМВ тік бұрышты үшбұрышынан Осыдан ЕВ

Осы ЕВ- ның мәнін жоғары теңдікке қойсақ, іздеген түзудің теңдеуін табайық:

(3)

(3) теңдеуі түзудің нормальдық теңдеуі деп аталады.

Мысал: Координаталардың бас нүктесінен түзуіне жүргізілген перпендикулярдың ұзындығы 4-ке тең. Осы перпендикуляр обцисса осімен 30 бұрыш жасайды. Ізделіп отырған түзудің теңдеуін жазайық.

Шешуі: Есеп шарты бойынша;

Түзудің жалпы теңдеуі.

Жазықтықта екі нүкте берілген. Осы екі нүктеден бірдей қащықтықта жатқан нүктелердің геометриялық орнын табайық.Берілген екінүктеден бірдей қашықтықта жататын нүкте М(х,у) болсын. Осы нүктеден берілген нүктеднің арасындағы қашықтықтар есептің шарты бойынша өзара тең.

Осыдан

Енді коэффициенттер мен бірге бос мүшелерді белгілейік:

Мұндағы, А,В,С –тұрақты шамалар, х пен у түзудің бойында жатқан кез келген нүктенің координатасы (L` түзудің жалпы теңдеуі.

Әртүрлі жағдайда қарастырайық:

1. А=0 B , C By + c=0 У=- =B -ке параллель түзу.

2. В=0 A C Ax+C=0 X=- =a OУ-ке параллель түзу

3) А=0 С=0 Ву=0 У=0 Ох осі

4) A B С=0 Ах+Ву=0 бас нүктесінен өтетін түзу болады.

5) В=0 С=0 онда х=0 ОУ осі

6) А=0 В=0 C жағдайының болуы мүмкін емес түзудің жалпы теңдеуін коэфицентпен және кесінділік түрге келтіруге болады.

1) Ах+Ву+с=0 Ву=-Ах-с У=- х- , ал - =к - =в деп белгілесек у=кх+в

2) Ах+Ву=-с + =1 + =1 =а, =в десек, + =1

Мысал 1 + =1 түзудің кесінділік теңдеуі берілсін. Осыны жалпы түрге келтіретін бөлшектен құтылып, берілген теңдеуді түрлендіріп, мынаны табамыз: 2х+3у=6 2х+3у-6=0

Мысал 2 у=2х-6 теңдеуін жалпы және кесінділік теңдеуге келтір

1. 2х-у-6=0 А=2 В=-1 С=-с

2. 2х-у-6=0 а=3 в=-6

Параллельдік және перпендикулярлық шарттар

Жазықтықтағы түзүдің теңдеулері.

Анықтама. Ах+Ву+С=0 теңдеу түзудің жалпы теңдеуі деп аталады. Мұндағы к= - түзудің бұрыштық коэффициенты.

Бағыттауыш векторы (түзуге параллель), М₀(x₀,y₀) нүктесін басып өтетін түзуінің теңдеуі .

Нормаль векторы , М₀(x₀,y₀) нүктесін басып өтетін түзуінің теңдеуі A(x-x₀)+B(y-y₀)=0.

Бұрыштық коэффициенті к белгілі және М₀(x₀,y₀) нүктесін басып өтетін түзуінің теңдеуі y-y₀=k(x-x₀).

Берілген екі нүкте М₁(x₁,y₁) және М₂(x₂,y₂) нүктелері өтетін түзудің теңдеуі .

Координаталар өстерін А(a,0), B(0,b) нүктелерінде қиып өтетін түзудің теңдеуі .

Екі түзу арасындағы бұрыш. Параллельдік және перпендикулярлық шарттары. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы.

d₁ және d₂ түзулері өздерінің сәйкес жалпы теңдеулері арқылы берілсін дейік:

А₁х+В₁у+С=0, А₂х+В₂у+С=0

Бұрыштық коэффициенттері к₁= , к₂=

Егер d₁  d₂, онда к₁ = к₂.

Егер d₁ d₂, онда к₁ = .

Екі түзу арасындағы бұрыш tg .

M(x₀,y₀) нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы d=

Қайталау сұратары:

Жазықтықтағы түзүдің теңдеулері.

Екі түзу арасындағы бұрыш.

Параллельдік және перпендикулярлық шарттары.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 16-17.

Тақырып: Екінші ретті сызықтар және олардың канондық теңдеулері. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Мақсаты:Екінші ретті сызықтар, олардың конондық теңдеулерін қарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Жазықтықтағы екінші ретті сызықтар.

2. Шеңбер.

3. Эллипс, оның қасиеттері.

4. Гипербола, оның қасиеттері.

5. Парабола, оның қасиеттері