1. Вектор. Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар

Вектор деп бағытталған кесіндіні атайды. Егер вектордың бас нүктесі нүкесінде орналасса, ал ұшы - нүктесінде, онда векторды , деп белгілейді. Егер бас нүктесі мен ұшы көрсетілмесе, онда векторды кіші латын әріптерімен белгілейді. Мысалы

векторына қарама қарсы бағытталған векторды деп белгілейді. Бас нүктесі мен ұшы беттесетін векторды нольдік вектор деп атайды және деп белгілейді. вектордың бағыты анықталмаған. вектордың ұзындығы немесе модулі деп оның бас нүкесі мен үшының ара қашықтығын атайды және деп белгілейді.

Бір түзудің бойында немесе параллель түзулерде жататын және векторлар коллинеар деп аталады және ‌‌‌‌‌‌‌|| түрінде белгілейді.

Егер кеңістіктегі үш вектор бір жазықтықта немесе параллель жазықтықтарда жатса, онда оларды компланар деп атайды.

Егер және векторларының коллинеар, бірдей бағытталған және ұзындықтары өзара тең болса, онда векторы векторына тең .

Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар - векторларды скалярға көбейту және векторларды қосу.

векторының санына көбейтіндісі деп

1. модулі ;

2. || ;

3. , векторымен бағыттас, ал болса векторына бағыты қарама-қарсы векторын атайды.

векторларының қосындысы деп бас нүктесі бірінші вектордың бас нүктесінде, ал ұшы қосыңды векторларының тізбегінен құрастырған сынық сызықтың соңғы векторының ұшында орналасатын векторды атайды.

Екі және векторларының қосындысын табу үшін «үшбұрыш ережесін» (1-сурет) немесе «параллелограмм ережесін» (2-­сурет) пайдалануға болады.

1-сурет 2-сурет

2. Вектордың проекциясы

Бағытталған түзу осі деп аталады. векторнының өсіндегі проекциясы деп (мұнда ) - өсінің оң бағытымен вектор бағытының арасындағы бұрыш санын атайды. Сонда вектор проекциясының геометриялық мағынасы: егер болса, онда векторының «+» таңбалы кесіндісінің ұзындығы; егер болса, онда «-» таңбалы кесіндісінің ұзындығы (3-сурет). болғанда кесіндісі нүктеге айналады және .

3-сурет

Егер немесе , онда .

Проекциялардың қасиеттері.

. векторының өсіндегі проекциясы вектор модулі мен вектордың өсімен жасайтын бұрышының косинусына көбейтіндісіне тең, яғни .

 Егер , онда .

Егер , онда . ■

. Бір өстегі бірнеше векторлардың проекцияларының қосындысы олардың осы өстегі проекцияларының қосындысына тең.

 берілген. Онда . Осыдан (4-сурет). ■

4-сурет

. векторын санына көбейткенде оның өсіндегі проекциясы да санына көбейтіледі: .

3. Вектордың координаталарымен анықталуы

кеңістікте тікбұрышты координаттар жүйесін қарастырайық. , , координаттық өстерінде деп бірлік векторларды (орт) белгілейік.

Кеңістіктегі кез келген векторының басын координаттар бас нүктесімен беттестірейік: . Вектордың ұшынан координаттық жазықтықтарға параллель жазықтықтар жүргізіп олардың координаттық өстерімен қиылысу нүктелерін деп белгілеп векторының координаттық өстеріндегі проекциясын табамыз:

, , .

Вектордың қосындысының анықтамасы бойынша

.

Мұнда , болғандықтан

(І.1)

, , (І.2)

, , деп белгілеп (І.1) және (І.2) формулалардан

(І.3)

векторының координаттық өстері бойынша жіктелуі. - векторының координаталары, яғни

Тік бұрышты параллелепипедтің диагональдары туралы теореманы пайдаланып келесі тепңдікті шығарып алуға болады:

,

яғни

. (І.4)

векторының координаттық өстерімен жасайтын бұрыштарын деп белгілеп төмендегі теңдіктерді табуға болады.

, , . (І.5)

Осыдан , , .

векторының бағыттаушы косинустары деп аталады.

(І.5) теңдіктерді (І.4) қойып

табамыз. Осыдан

координаттық өстеріндегі проекцияларымен берілген және векторлары үшін сызықтық амалдар мынадай теңдіктерімен анықталады:

1.

;

2. .