Дәрістің қысқаша тезистері

Дәріс 1.

Тақырып: Матрица және оған қолданылатын амалдар.

Мақсаты: Матрица ұғымын енгізу. Оларға қолданылатын амалдарды үйрету.

Қарастырылатын сұрақтар:

1. Матрица түсінігі.

2. Матрица өлшемі, түрлері.

3. Матрицаларды қосу, көбейту. Матрицаны санға көбейту.

4. Элементар түрлендірулер.

Анықтама. m жатық және n тік жолдарда орналасқан сандар кестесін m n өлшемді тік бұрышты А матрицасы деп атайды. Яғни

А=

Матрицалар және оларға амалдар қолдану.

1. санын А матрицасына көбейту үшін, оның әрбір элементін сол санға көбейту қажет

2. Бірдей өлшемді А және В матрицаларының қосындысы деп өлшемі А мен В өлшеміндей, элементтері А мен В элементтерінің қосындысыны тең матрицаны атайды.

3. А және В матрицаларының көбейтіндісі деп с_ij – элементтері А матрицасының i – ші жатық жолы элементтерін В матрицасының j – ші тік жолының сәйкес элементтеріне көбейтіп қосқанға тең С матрицасын атайды.

Матрицаның рангісі.

N матрицаның саны. r – матрицаның рангісі.

Ранг дегеніміз – 0-ге тең емес жолдар.

Қасиеттері.

1⁰ үлестірімділік заңы. Дистрибутивтілік.

2⁰

3⁰

Транспандалған матрица.

А)Егер матрицаның жолы мен бағанының ф-нфң олардың ретін сақтай отырып ауыстырса, онда шыққан матрицаны транспандалған матрица деп атайды.

А^Т- белгіленуі.

Қайталау сұрақтары:

1. Матрица рангі.

2. Трансонданған матрица.

3. Матрица, реті, түрі.

4. Матрицаны элементар түрлендіру.

5. Матрицалар қосындысы, көбейтіндісі.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 2.

Тақырып: Анықтауыштар және оның қасиеттері. Екінші, үшінші ретті анықтауыштар.

Мақстаы: Екінші, үшінші ретті анықтауыш ұғымын енгізу, қасиеттерімен таныстыру. Оларды табу жолдарын қарастыру.

Қарастырылатын сұрақтар:

1. Анықтауыш түсінігі.

2. Екінші, үшінші ретті анықтауыштар, табу жолдары.

3. Анықтауыш қасиеттері.

Анықтама. Екінші ретті квадрат А матрицасына сәйкесті екінші ретті анықтауыш деп санды атайды және былай белгілейді

=а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂

Мысал. Мына анықтауышты есептеу керек

=

Екінші ретті анықтауыш екі жатық, екі тік жолдардан анықталған, а₁₁, а₁₂ элементтері – екінші ретті анықтауыштардың бірінші, ал а₂₁, а₂₂ , екінші жатық жолдарын құрайды, а₁₁, а₁₂ – екінші ретті анықтауыштың бірінші, ал а₁₂, а₂₂ екінші тік жолдарын құрайды.

Анықтауыштың а_ij элементтерінің бірінші і индексі оның жатық жолының нөмірін, ал екінші j индексі тік жолының нөмірін анықтайды. Анықтауыштың жоғарғы сол элементі (а₁₁) мен төменгі оң жақ элементі (а₂₂) осы анықтауыштың негізгі диоганалын білдіреді, яғни а₁₁ мен а₂₂ элементтері – екінші ретті анықтауыштың негізгі диоганалының элементтері, ал жоғарғы оң элементі а₁₂ мен а₂₁ –қосалқы диоганалының элементтері.

Екінші ретті анықтаушты есептеу үшін оның негізгі диоганал элементтерінің көбейтіндісінен, яғни а₁₁ а₂₂ көбейтіндіден қосалқы диоганал элементтернінің көбейтіндісін, яғни а₂₁ *а₁₂ көбейтіндіні, алсақ жеткілікті. Сонымен, екінші ретті анықтауыштың есеттеуіндегі әр қосылғыш, осы анықтауыштың екі элементінің көбейтіндісінен анықталған және көбейтіндідегі көбейткіш анықтауыштың тік және жатық жолдарының тек бір ғана элементінен анықталған.

Үшінші ретті анықтауыш туралы түсінік.

Анықтама. Үш ретті квадрат матрицаға сәйкесті үшінші ретті анықтауыш деп

а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂ санын атап, мына симвро арқылы белгілейді:

= а₁₁ а₂₂ а₃₃ +а₁₂ а₁₁ а₂₃ а₃₁ +а₁₃ а₂₁ а₃₂ -а₁₃ а₂₂ а₃₁ -а₁₂ а₂₁ а₃₃ -а₁₁ а₂₃ а₃₂

Енді анықтауыш мүшелерін құрудың мынадай қарапайым ережесін келтірейік (үшбұрыш ережесі)

Мысал. Мына анықтауышты есептеу керек

Ол үшін үшбұрыш ережесін қолданамыз. Сонда

= Анықтауыштың қасиеттері.

1. Анықтауыштың жатық жолдарын оның сәйкес тік жолдарымен орын алмастырғаннан ол анықтауыштың сан мәні өзгермейді.

2. Егер анықтауыштың қандай болса ды бір жатық жолының барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.

3. Егер анықтауыштың екі жатық жолын бірі мен бірің орындарынан алмастырсақ, ондаанықтауыш таңбасы қарама қарсы таңбаға ауады.

4. Егер анықтауыштың кез келген екі жатық жолы өзара тең болса, онда ол нөлге тең болады.

5. Егер анықтауыштың қандай болса ды бір жатық жолыеың барлық эоементтерін бір ғана санына көбейтсек, онда анықтауыштың өзі осы санына көбейтіледі.

Екінші ретті анықтауыштағыдай үшінші ретті анықтауыш үш жақтың және үш жолдан тұрады. а₁₁ , а₂₂ , а₃₃ , а₁₃, а₂₂ , а₃₁ – қосалқы диоганалының элементтері.

Үшінші ретті анықтауышты есептеу үшін үшбұрыштар немесе Сарюс ережесі деп аталатын төмендегі схеманы еске сақтаған тиімді. Үшінші ретті анықтауыштың есептелуіндегі плюс таңбасымен алынған бірінші үш қосылғыш «+» схема, ал минус таңбасымен алынған екінші үш қосылғыш «-» схема бойынша есептеледі.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₃₁ а₃₂ а₃₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₃₁ а₃₂ а₃₃

Қайталау сұақтары:

1. Анықтауыш ұғымы

2. Екінші ретті анықтауышты табу жолы

3. Үшінші ретті анықтауыш

4. Саррюс әдісі

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 3.

Тақырып: n-ші ретті анықтауыштардың қасиеттері. Жол немесе баған бойынша анықтауыштарды жіктеу.

Мақсаты: n-ші ретті анықтауыштар түсінігін енгізу, оны табу жолдарын қарастыру: жол және баған бойынша жіктеу әдісі, алдын ала нөлдерге келтіру жолы.

Қарастырылатын сұрақтар:

1. n-ші анықтауыш түсінігі.

2. Матрица миноры мен алгебралық толықтырылуы.

3. Жол және баған бойынша жіктеу әдісі.

n – шi реттi анықтауыштар.

Матрицаның жанына жақша қойылмайды, анықтауыш болса қойылады.

n –ретті анықтауыш

Егер n=2, n=3 болса, онда анықтауыштарды есептеудi бiлемiз.

Ал n=4 одан жо5ары болса, ондай анытауыштарды есептейтiн ережелер жоқ, сондықтан анықтауыщтардың ретiн төмендету керек. Ол үшiн анықтауыштың жолын немесе бағанының элементтерi бойынша жiктеймiз. Жiктеуден әрбiр элементтi оның минорына көбейтемiз:

1. Анықтама: “a_ik” i=1,2,3,…,n; k=1,2,3,…,n;

i– шi жолмен; к – шi бағанды сызып тастағанда қалған элементтерден тұратын (n-1) – шi реттi (анықтауыш). a_ik элементiнiң миноры деп аталады.

2. a_ik элемнетiнiң минорын (“M_ik”) (-1)^i+k дәрежесiне көбейткендегi анықтауышы мына элементiнiң алгебралық толықтырмасы (“A_ik”) деп аталады. Сонымен A_ik=(-1)^i+k – тең.

Мысалы: i=3; r=4; a_ik=-2.

1) Анықтауыштардың жолдарын сәйкес баған етiп қойып, жазғанда шығатын анықтауыштың мәнi өзгермейдi. Бұны транспанирлеу деп атайды.

2)Анықтауыштың кез – келген екi жолын немесе екi бағанының орындарын ауыстырғанда мәнi өзгермейдi, бiрақ таңбалары өзгередi.

3)Егер анықтауыштың бiрдей жолдары немесе бiрдей бағандары болса, онда анықтауыш нольге тең болады.

4)Анықтауыштың диоганальдарының жоғарғы немесе төменгi жағында элементтерi нольге тең болса, онда бұланықтауыш көбейтiндiсiне тең.

осы анықтауыштың п элементінің көбей тіндісінен анықталады, ал әр көбейткіш анықтауыштың жатық және тік жолдарының тек бір ғана элементінен анықталады.

1-қасиет: анықтауыштың жатық (тік) жолдарымен орын алмастырсақ онда оның мәні өзгермейді.

2-қасиет: анықтауыштың кез клген екі жатық жолдарының сәйкес элементтерінің орнын алмастырсақ онда оның таңбасы қарама-қарсы таңбаға өзгереді.

Анықтауыштың анықтамасы бойынша:

Қайталау сұрақтары:

1. Жоғарғы ретті анықтауыштар.

2. Алгебралық толықтауыш.

3. Минор.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 4.

Тақырып: Бірлік және кері матрица. Кері матрицаны есептеу.

Мақсаты: бірлік, кері матрица ұғымдарын енгізу. Кері матрицаны табу жолдарымен таныстыру.

Қарастыратын сұрқтар:

1. Бірлік матрица.

2. Кері матрица.

Анықтама. Бас диагональ элементтірінің барлығы тегіс бірге тең диагональдік матрица бірлік матрица деп аталады және былай белгілінеді

Анықтама. Шаршы А матрицасын алайық. Егер А^-1А=Е теңдігін қанағаттандыратын шаршы А^-1 матрицасы табылса, онда А^-1 матрицасы А матрицасына кері матрица деп аталады.

Кері матрица мына формуламен есептеледі А^-1 =

Мысал. Берілген А= матрицасына кері матрица табу қажет

Шешімі. det =6 . Барлық алгебралық толықтауыштарын есептеп табамыз

, , ,

, , ,

, ,

Сөйтіп кері матрица

Қайталау сұрақтары:

1. Бірлік матрица.

2. Кері матрица.

3. Туындалған матрица.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 5.

Тақырып: Сызықтық теңдеулер жүйесі, олардың классификациясы. Крамер ережесі.

Мақсаты: Студенттерге сызықтық теңдеулер жүйесі ұғымы түсінігін беру.Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін үйрету.

Қарастыратын сұрақтар:

1. Сызықтық теңдеулер жүйесі туралы түсінік.

2. Сызықтық жүйесін шешу әдістері.

3. Крамер әдісі.

?

?

?

Екі және үш белгісізді сызықтық теңдеулер жүйесі. Крамер формулалары.

Бізге үш белгісізді сызықтық үш тендеулер

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+a₂₃x₃=b₂

a₃₁x₁+ a₃₂x₂+a₃₃x₃=b₃

жүйесі берілсін дейік. Мұндағы а_ij коэффициентері мен b_i босмүшелері нақты сандар болсын. Мына белгілеулерді енгізейік

= , = , = , =

Егер , онда Крамер ережесі бойынша

n белгісіздігі m сызықтық теңдеулер жүйесі берілген:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = b₂,

……………………….. (2)

a_m1 x₁ + a_m2 x₁ + … + a_mn x_n = b_m.

М ұндағы а_ij кез келген нақты сандар, х_i – белгісіз шамалар, ал b_j -бос мүшелер, і=1, _m (1-ден m–ге дейін), j=1,_n. Егер бос мүшелердің барлығы нөлге тең болса, онда (2) теңдеулер жүйесі біртекті деп, ал ең болмағанда біреуі нөлден өзге болса, онда теңдеулер жүйесі біртекті емес деп аталады.

Анықтама. a₁, a₂,…, a_n сандарын (2) теңдеулер жүйесіндегі белгісіздердің орнына қойғанда теңдеулердің бәрі теңдікке айналса, онда бұл сандар теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.

Анықтама. (2) теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі болса, онда жүйе үйлесімді, ал шешімі жоқ болса үйлеciмсіз деп атайды.

Анықтама. Теңдеулер жүйеснің тек бірі ғана (жалқы) шешімі болса анықталған, ал бірнеше (кейде ақырсыз көп) шешімі болса анықталмаған деп аталады.

Мысалы,

2 x₁ + 3x₂ = 5,

2x₁ + 3x₂ = 6

теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ, яғни үйлесімсіз, өйткені теңдеулердің сол бөліктері тең, ал оң бөліктері әртүрлі.

x ₁ - x₂ = 2,

3x₁ - 3x₂ = 6 жүйесі үйлесімді, бірақ анықталмаған, өйткені ақырсыз көп шешімі бар. Егер екінші теңдеуді 3-ке қысқартсақ өзара тең теңдеулер шығады.

n белгісіздігі n сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

a ₁₁x₁ + a₁₂ x₂ +… + a_1n x_n = b₁,

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ +… + a_2n x_n = b₂,

……………………….. (3)

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + … + a_nn x_n = b_n.

( 3) жүйесінің шешімдері x_1, x_2, …., x_n - лер а_ij коэффициенттері мен b_j бос мүшелері арқылы өрнектелуі керек, мұндағы і, j=1,n.

Крамер әдісі

Теңдеулер жүйесін шешу үшін мектеп оқулығынан белгілі алгебралық қосу әдісін қолданамыз. (3) теңдеулер жүйесін шешу үшін 1 теңдеуді А_{11 -} ге, 2-ні А₂₁ –ге және т.б., ал соңғы теңдеуді А_n1 –ге көбейтемізде осы теңдеулерді қосып ұқсас мүшелерін біріктіреміз.

(a₁₁ A₁₁ + a₂₁A₂₁ + … + a_n1 A_n1) x₁ + (a₁₂ A₁₁+a₂₂ A₂₁ + …+ a_n2 A_n1)x₂ + …

+ (a_1n A₁₁ + a_2n A₂₁ + … + a_nn A_n1)x_n = b₁ A₁₁ + b₂ A₂₁ + … + b_n A_n1

(3) теңдеулер жүйесінің коэффициенттерінен құрылған n-ретті анықтауышты қарастырамыз.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ … a_1n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ … a_2n

= a₃₁ a₃₂ a₃₃ … a_3n . (4)

… … … … …

a_n1 a_n2 a_n3 … a_nn

Мұны теңдеулер жүйесінің бас анықтауышы деп атайды. Белгісіз x₁ –дің коэффициенті бірінші баған элементінің өзінің алгебралық толықтауышына көбейтінділерінің қосындыларынан тұрады, ендеше, ол 9-қасиет бойынша (4) анықтауышқа тең.

Қалған х₂ , х₃ , … х_n белгісіздерінің коэфициенттері екінші, үшінші, …, n-баған элементтерінің бірінші баған элементтерінің алгебралық толықтауышына көбейтінділерінің қосындысынан тұрады, ал олар 10-қасиет бойынша нөлге тең.

Оң жағы бос мүшелер мен бірінші бағанның алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысынан тұрады, ал бұл бірінші баған элементтері бос мүшелермен ауыстырылған (4) анықтауышты береді. Сонда

∆ ∙ х₁ = ∆х_1, .

Осы тәсілмен (3) теңдеулер жүйесінің бағандарын сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейту арқылы қалған белгісізднрді табу формулалары қорытылып шығарылады:

i = 1,n,_, (5)

мұнда ∆ - жүйенің бас анықтауышы, ал ∆ х_i - анықтауыштың і –баған мүшелерін бос мүшелерімен ауыстырғаннан алынған қосымша анықтауыштар.

1. (5) формуладағы жүйенің бас анықтауышы нөлден өзге болу керек. Бұл жағдайда (3) теңдеулер жүйесінің жалғыз ғана шешімі болады.

2. Егер ∆ = 0 болса, ал қосымша анықтауыштардың біреуі нөлден өзге (∆х_i = 0), онда теңдеулер жүйесінің шешімі болмайды (мектеп бағдарламасы бойынша нөлге бөлуге болмайды).

3. Егер ∆ = 0, және барлық қосымша анықтауыштар да нөлге тең (∆х_i=0), онда жүйенің ақырсыз көп шешімі болады.

Қайталау сұрақтары:

1. СТЖ.

2. Біртекті СТЖ.

3. Біртекті емес СТЖ.

4. Біртекті СТЖ шешу жолдары.

5. Біртекті СТЖ шешудің Крамер әдісі.

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 6.

Тақырып: Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу

Мақсаты: Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу жолымен таныстыру.

Қарастыратын сұрақтар: Гаусс әдісі