3. Кинематика абсолютно твердого тела

Исследование кинематики твердого тела включает в себя как понятия по определению кинематических характеристик всего тела, так и отдельных его точек.

Различают следующие виды движения твердого тела:

• поступательное;

• вращательное относительно неподвижной оси вращения;

• плоскопараллельное.

3.1. Поступательное движение

Движение называется поступательным, если любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно своему первоначальному положению.

П оступательное движение может быть прямолинейным (движение поршня, кузова трамвая на прямолинейном участке пути) и криволинейным (движение тела D, рис.13).

При поступательном движении траектории точек могут быть любыми кривыми линиями.

П

Рис.13.

ри поступательном движении твердого тела кинематические характеристики определяются следующей теоремой:

п ри поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые траектории, а также имеют равные по модулю и направлению скорости и ускорения в каждый момент времени.

Рис.14.

Для доказательства рассмотрим две произвольные точки А и В твердого тела, совершающего поступательное движение относительно системы отчета Охуz, положение точек в любой момент времени определяется радиус-векторами и (рис.14).

Очевидно, что

. (32)

При движении тела вектор не изменяется ни по модулю (так как тело абсолютно твердое), ни по направлению (так как поступательное движение), тогда вектор . Траектория точки В находится из геометрической суммы траектории точки А с постоянным вектором .

Определим скорости точек А и В, продифференцировав уравнение (32) по времени

, (33)

где , так как ;

, , следовательно,

. (34)

Продифференцируем по времени уравнение (34) для нахождения ускорений точек

. (35)

Если и , тогда

. (36)

Так как выбор точек произвольный, то теорема справедлива для всех точек твердого тела при поступательном движении.

Таким образом, поступательное движение тела полностью определяется движением любой ее точки. Для задания этого движения требуется знать координаты некоторой точки движущейся этого тела (например, точки А)

, , . (37)

Выражения (37) определяют уравнения поступательного движения твердого тела.

3.2. Вращательное движение тела

В ращательным движением твердого тела называется движение, при котором две точки тела остаются неподвижными (точки А и В, рис.15). Прямая, проходящая через неподвижные точки, называется осью вращения (ось Az). Точки, не лежащие на оси вращения, описывают окружности по отношению к оси вращения. Плоскости этих окружностей перпендикулярны оси вращения, а их центры лежат на оси вращения.

Рис.15.

Рассмотрим движение плоского абсолютно твердого тела D относительно оси вращения Az (см. рис.15). Для определения положения вращающегося тела D введем неподвижную плоскость Р, проходящую через ось вращения. Положение тела в любой момент времени будет определяться углом , который образуют подвижная плоскость с неподвижной. Этот угол измеряется в радианах (градусах), положительным считается направление отcчета его против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Az. Угол  называют углом поворота тела.

При вращении тела угол  изменяется с течением времени по определенному закону в зависимости от характера вращательного движения

. (38)

Уравнение (38) называется законом вращательного движения тела относительно неподвижной оси.

В случае, если известно число оборотов совершаемого тела N в некоторую единицу времени, угол поворота тела составит

. (39)

Для характеристики изменения вращения тела вокруг оси вводится понятие угловой скорости тела . Единицы измерения угловой скорости – рад/с или с^-1.

Пусть за промежуток времени тело совершает поворот на угол , тогда средней угловой скоростью тела будет отношение

. (40)

Угловой скоростью в данный момент времени, называется предел отношения уравнения (40), при стремлении времени , то есть

. (41)

Угловая скорость вращения тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота тела по времени.

Положительным направлением вращения угловой скорости в данный момент времени считается вращение против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Az (см. рис.15).

Если тело вращается неравномерно, то для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводится понятие углового ускорения . Единицы измерения углового ускорения – рад/с² или с^-2.

Пусть за время угловая скорость изменилась на , тогда значение среднего углового ускорения составит

. (42)

Угловое ускорение в данный момент времени называется пределом отношения уравнения (42), при стремлении времени , то есть

. (43)

Угловое ускорение в данный момент времени представляет собой первую производную от угловой скорости или вторую производную от угла поворота тела по времени.

Движение тела (точки) будет ускоренным, если численные значения угловой скорости ( ) и углового ускорения ( ) в данный момент времени имеют одинаковые знаки (рис.16,а), и замедленным, когда разные (рис.16,б).

У

Рис.16.

а)

б)

гловую скорость, как и угловое ускорение тела можно изобразить в виде векторов и , численные значения которых равны и , соответственно. Вектор угловой скорости и углового ускорения требуется изображать вдоль оси вращения тела в сторону, откуда вращение происходит против хода часовой стрелки (рис.16). Задав вектора угловой скорости и углового ускорения, определяют численные значения их модулей, положение оси вращения и направление вращения вокруг этой оси.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной ( ), то вращение тела называется равномерным. Интегрируя уравнение (41) в заданных пределах, имеем

, (44)

,

где - угол поворота тела в момент времени t=0;

. (45)

Выражение (45) отображает закон равномерного вращательного движения твердого тела.

Если угловое ускорение тела во время движения остается постоянным ( ), то вращение называется равнопеременным. Интегрируя выражение (43) в заданных пределах, имеем

, (46)

,

где - угловая скорость тела в момент времени t = 0.

С учетом выражения (41) получим

. (47)

Интегрируя выражения в заданных пределах

, (48)

,

. (49)

Выражение (49) определяет закон движения при равнопеременном вращении.

Если модуль угловой скорости с течением времени увеличивается, то движение – равноускоренное, если уменьшается – равнозамедленное.

Уравнения для равноускоренного движения:

, .

В случае, равнозамедленного движения:

, .