2.6. Касательное и нормальное ускорение точки

Вектор ускорения точки в соприкасающейся плоскости спроектируем на оси естественного трехгранника

. (23)

Вектор ускорения находится в плоскости векторов , , тогда проекция вектора на бинормаль равна нулю ( ). Определим проекции ускорения на касательную и нормальную составляющие, с учетом уравнения (17), получим

, . (24)

С

Рис.7.

проектируем вектор элементарного приращения скорости на направление нормали и касательной (рис.7), тогда

, (25)

, (26)

. (27)

Проекция ускорения точки на касательную к траектории, равная первой производной от модуля скорости (V) или второй производной от расстояния (координаты S) по времени, называется касательным или вращательным ускорением,

, (28)

где – радиус кривизны траектории в точке М.

Проекция ускорения точки на главную нормаль равная квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке, называется нормальным или центростремительным ускорением.

Н

Рис.8.

а основании уравнения (23) с учетом (рис.8), что , тогда полное ускорение точки в заданный момент времени изобразится диагональю параллелограмма, построенного на составляющих его векторах (взаимно перпендикулярных) нормального и касательного ускорений

. (29)

2.7. Касательное и нормальное ускорения при координатном способе задания движения точки

Для нахождения касательного ускорения точки, при координатном способе задания движения точки с помощью системы уравнений (3), проецируем вектор ускорения в заданный момент времени на направление касательной к траектории движения точки,

. (30)

В случае, если касательное ускорение точки в заданный момент времени  0, то вектор сонаправлен с вектором скорости в заданный момент времени , и движение точки будет ускоренное; если  0, то вектор направлен в противоположную сторону с вектором скорости в заданный момент времени , и движение точки будет замедленным.

Для нахождения нормального ускорения точки в заданный момент времени согласно уравнения (29) имеем

. (31)

Вектор нормального ускорения направлен по нормали к траектории движения точки к центру ее кривизны.

2.8. Частные случаи движения точки

Таблица 1

Равномерное движение, V=const	Ускоренное движение, 0	Замедленное движение, 0
Прямолинейное движение
=0, (=) а=0	0 =0	0 =0
Криволинейное движение
	0	0

Практическая работа 1

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения.

По заданным уравнениям движения точки М в координатной форме определить: траекторию ее движения в заданный момент времени t=1c, найти скорость и ускорение.

(см), (см).

Решение:

1. Определим траекторию движущейся точки М.

Для получения уравнения траектории движущейся точки исключим из заданных уравнений параметр времени t:

,

.

Полученные уравнения возведем в квадрат и суммируем.

,

.

Данное выражение представляет собой траекторию движущейся точки М – уравнение эллипса с центром в точке с координатами (9; -4). Построим траекторию в координатных осях ху (рис.9).

Укажем положение точки М на траектории в заданный момент времени, для этого подставим время t=1с в уравнения

см,

см.

Тогда точка М с координаты (12; -1,4).

Для указания положительного отсчета по траектории определим положение точки М в начальный момент времени при t=0 с

см,

см.

Рис.9.

Тогда точка М_о имеет координаты (15; - 4).

Точки М и М₀ принадлежат траектории эллипса, следовательно, решение верно.

Направление положительного отсчета по траектории идет от точки М₀ в момент времени t = 0 c к точке М, когда t =1с (против движения часовой стрелки) (см. рис.9).

2. Определим скорость точки М в заданный момент времени t.

Известно, что скорость можно разложить по проекциям на координатные оси

.

Определим проекцию скорости точки М на ось Ох

.

В заданный момент времени t =1с проекция скорости составит

см/с.

Так как < 0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси 0х в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе скоростей, указанно на схеме (рис.10).

Определим проекцию скорости точки М на ось Оу.

.

В заданный момент времени t =1с проекция скорости составит

см/с

Рис.10.

Так как >0, то вектор скорости направлен из точки М параллельно оси 0у в сторону положительных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор (рис.10).

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор скорости точки М в заданный момент времени, этот вектор должен быть направлен по касательной τ к траектории движения (рис.10). Численное значение скорости можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов скоростей (см. рис.10), либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):

см/с.

3. Определим ускорение точки М в заданный момент времени t.

Известно, что ускорение можно разложить по проекциям на координатные оси

.

Определим проекцию ускорения точки М на ось Ох

.

В заданный момент времени t =1с проекция ускорения составит

см/с².

Так как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси 0х в сторону отрицательных значений х, данный вектор требуется отложить в соответствующем масштабе ускорений, указанно на схеме (рис.11).

Определим ускорение скорости точки М на ось Оу

.

В заданный момент времени t = 1с проекция ускорения составит

см/с².

Рис.11.

Так как <0, то вектор ускорения направлен из точки М параллельно оси 0у в сторону отрицательных значений у, данный вектор требуется отложить в том же масштабе, что и вектор (рис.11).

Геометрическая сумма векторов и (по правилу параллелограмма) представляет собой вектор ускорения точки М в заданный момент времени (рис.11). Численное значение ускорения можно измерить, согласно указанному масштабу для векторов ускорений на схеме чертежа, либо определить по теореме Пифагора (так как вектора и взаимно перпендикулярны):

см/с².

Определим касательное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная проекции скорости и ускорения на оси координат

см/с².

Так как > 0, то вектор ускорения направлен из точки М по касательной к траектории движения в сторону направления вектора скорости (движение точки будет ускоренным), данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений (рис.12).

Определим нормальное ускорение точки М в заданный момент времени t, зная полное и касательное ускорения

см/с².

Вектор ускорения направлен из точки М по нормали п к траектории движения к центру кривизны траектории, данный вектор требуется отложить в масштабе ускорений (рис.12).

Так как векторная сумма ускорений справедлива (рис.12), то решение верно.

Рис.12.

Определим радиус кривизны траектории в заданный момент времени c учетом нормального (центростремительного) ускорения в заданный момент времени

см.