2. Кинематика точки

Движение точки можно задать одним из следующих способов:

1. Векторный способ задания движения точки.

Р ассматривается движение точки М в некоторой системе отчета Охуz. Положение этой точки в любой момент времени определяют радиус-вектором , проведенным из начала координат точки О к точке М (рис.1).

П

Рис.1.

Рис.1.

ри движении точки М вектор изменяется с течением времени по модулю и направлению, следовательно

(1)

где – векторная функция, изменяется с течением времени.

Равенство (1) определяет закон движения точки в векторной форме, позволяет найти ее положение в любой момент времени.

При проектировании радиус-вектора на декартовы координаты и введении единичных векторов координатных осей имеем

, (2)

где х, у, z – декартовы координаты точки М.

Вектор согласно равенства (1) может быть задан модулем и углами с осями или проекциями на оси других систем координат.

2. Координатный способ задания движения точки.

Рассматривается движение точки М в некоторой системе отсчета. Положение этой точки в любой момент времени определяют декартовыми координатами х, у, z.

. (3)

Уравнение (3) называется уравнением движения точки в прямоугольных декартовых координатах.

При движении точки в одной плоскости Оху уравнение движения примет вид

. (4)

При прямолинейном движении точки, вдоль оси Ох уравнение движения примет вид

. (5)

Равенство (5) выражает прямолинейный закон движения точки.

Выражения (3) и (4) представляют уравнения траектории точки в параметрической форме, зависящие от параметра времени t.

Траектория представляет собой непрерывную линию, которую описывает материальная точка по отношению к данной системе отсчета. Для выявления уравнения траектории точки требуется исключить параметр времени из заданных уравнений.

3. Естественный способ задания движения точки.

В некоторой системе декартовых координат Оxyz, задается движение точки М (рис.2), при этом известны:

• траектория АВ, по которой движется точка М;

• начальное положение точки на траектории – точка О₁, указание положительного и отрицательного отсчета направлений движения;

• з

  Рис.2.

  акон движения точки М вдоль траектории в зависимости от времени S=О₁М=f(t):

S=f(t). (6)

Уравнение (6) выражает закон движения точки М по траектории.

2.1. Скорость точки

Скорость точки – одна из основных кинематических характеристик, является векторной величиной и характеризует быстроту изменения положения точки.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и определяется радиусом-вектором , а в момент t₁ приходит в положение М₁, определяется вектором (рис.3).

За промежуток времени точка М, совершит перемещение по кривой ММ₁, определяющееся вектором .

В ектор называется вектором перемещения точки за промежуток времени .

С

Рис.3.

редней скоростью перемещения точки М по модулю и направлению называется вектор, равный отношению вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени :

. (7)

Вектор совпадает с направлением вектора .

Скорость точки в данный момент времени называется вектор численно равный пределу отношения вектора перемещения точки к промежутку времени , при .

или . (8)

Следовательно, вектор скорости в данный момент времени есть первая производная по времени от радиуса-вектора движущейся точки .

Вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения (рис.3).