7.9. Случайная величина. Виды случайных величин

Случайное явление предстаёт перед исследователем в каждом опыте одним из своих исходов.

В большинстве случаев эти исходы имеют для человека различную значимость. Например, при стрельбе желательно попадание как можно ближе к точке прицеливания.

Кроме того, возможность различать эти исходы между собой основана, как правило, на различии одной из их количественных характеристик. Например, число точек на гранях игрального кубика.

Поэтому, удобно всему множеству исходов поставить в соответствие некоторую измеримую величину, причём так, чтобы каждому исходу соответствовало своё значение этой величины.

А так как исходы опыта заранее не предсказуемы, т.е. случайны, то эта величина должна называться также случайной.

Таким образом,

случайная величина – это величина, которая в ходе опыта случайным образом принимает одно из своих возможных значений.

В качестве примера случайной величины можно привести число очков, выпадающих при бросании игрального кубика. Здесь количество исходов конечно, поэтому конечно количество возможных значений случайной величины.

Случайной величиной является число преступлений, совершённых за отчетный период. Такая случайная величина также может принимать только целочисленные значения. И она не ограничена сверху.

Подобные случайные величины называются дискретными. Такие величины принимают какое-либо значение из конечного или бесконечного набора отстоящих друг от друга числовых значений. Здесь самое главное, что значения отстоящие!

Примеры дискретных случайных величин:

• количество очков, выпадающих на верхней грани игрального кубика,

• суммарная стоимость горсти монет, наугад вынутых из кошелька,

• возраст задержанного, округлённый до целого количества лет.

Кроме дискретных существуют также непрерывные случайные величины. Эти случайные величины могут принимать любое значение из заданного непрерывного промежутка.

Примеры непрерывных случайных величин:

• время работы дежурного до следующего вызова,

• отклонение точки попадания пули от центра мишени,

• масса единицы товара из проверочной закупки

и другие.

Непрерывные случайные величины обычно возникают там, где вопрос касается физических величин: длины, времени, массы.

7.10. Закон распределения

Поговорим поподробнее о дискретной случайной величине.

Дискретная случайная величина принимает в опыте одно из своих возможных отстоящих друг от друга значений.

Для того чтобы указать то, насколько часто случайная величина принимает какое-то значение, следует рассмотреть вероятность этого значения.

Рассмотрим простейший опыт с дискретной случайной величиной: бросание игрального кубика.

В этом опыте случайно количество очков, выпадающих на верхней грани кубика. Это – случайная величина, и у неё имеется 6 возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Очевидно, что если кубик правильной формы, то все грани выпадают с одинаковой вероятностью.

Чему равна вероятность каждого из возможных значений?

Игральный кубик – это идеальный пример для пояснения классического определения вероятности:

1) количество исходов конечно – 6, и исходы равновозможны,

2) вероятность каждого исхода

= 1/6 .

Сведём в таблицу все возможные значения, выпадающие при бросании кубика, и их вероятности:

i	1	2	3	4	5	6
P(Ai)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Изобразим полученное соответствие между возможными значениями и их вероятностями также в виде графика. (На графике принято, что 1/6  0,17.)

Теперь познакомимся с одним из важнейших понятий, используемых в теории вероятностей.

Законом распределения вероятности или просто законом распределения называется соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями.

Особая важность этого понятия в том, что закон распределения несёт в себе всю информацию о дискретной случайной величине.

Закон распределения может быть задан различными способами: 1) графиком, 2) таблицей, 3) формулой.

Формула для нашего простейшего случая будет следующая:

P(i) = 1/6, при i = 1, 2, …, 6 .

Основное свойство закона распределения:

сумма всех значений закона распределения равна единице.

Для нашего примера это:

P(1) + P(2) + … + P(6) = 1.

Это свойство связано с тем, что совокупность значений случайной величины соответствует полной группе событий. А вероятность суммы полной группы событий равна сумме вероятностей этих событий и равна 1.

Ещё более простой пример: бросание монеты.

Если присвоить числовые значения сторонам монеты: «орлу» - 0, а «решке» - 1, то в качестве случайной величины можно рассмотреть число, соответствующее верхней стороне упавшей монеты.

Закон распределения для монеты графически будет выглядеть так:

Высоты столбиков одинаковы, т.к. стороны монеты равновозможны, а значения равновероятны.

Рассмотрим теперь пример, в котором возможные значения случайной величины будут неравновероятными: сумма очков при двукратном бросании монеты.

«Орлу» ставим в соответствие 0 очков, «решке» – 1 очко.

В опыте возможно выпадение обоих «орлов», т.е.

ОО.

Тогда сумма очков будет равна 0.

Возможно выпадение первого «орла», второй «решки» или наоборот: первой «решки», а второго «орла», т.е.

ОР или РО.

В обоих случаях сумма очков будет равна 1.

И ещё возможно выпадение обеих «решек»

РР.

Сумма очков будет равна 2.

Таким образом, сумма очков при двукратном бросании монеты – это случайная величина с тремя возможными значениями: 0, 1, 2.

Вероятности этих значений легко назвать и так, но мы это сделаем с использованием классического определения вероятности.

В нашей задаче двукратного бросания имеется 4 элементарных исхода: «ОО», «ОР», «РО», «РР». Все они равновозможны.

Значение суммы в 0 очков возникает в 1-м из 4-х возможных исходов. Поэтому можем записать:

P(0) = 1/4,

где 1 – это количество элементарных исходов, соответствующих значению суммы, равному 0; 4 – это общее количество элементарных исходов.

Значение суммы очков 1 возникает при 2-х из 4-х возможных исходов, поэтому

P(1) = 2/4 = 1/2 .

Значение суммы очков 2 возникает при 1-м из 4-х возможных исходов:

P(2) = 1/4 .

Рисуем график закона распределения

Для этого примера снова убеждаемся в справедливости основного свойства закона распределения:

P(0) + P(1) + P(2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1 .