2. Системы счисления

2.1. Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления — совокупность алфавита, элементы которого называются цифрами, способов представления числа и алгоритмов выполнения арифметических операций.

Все системы счисления можно разделить на два класса:

• непозиционные,

• позиционные.

В непозиционных системах счисления вклад каждой цифры в число определяется только ее номиналом и не зависит от положения цифры в записи числа.

Как правило, для получения значения числа нужно сложить номиналы всех цифр в его записи. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является Римская система. В основе ее лежат следующий алфавит:

I — 1,

V— 5,

X — 10,

L — 50,

C — 100,

D —500,

M —1000.

Например, в римской записи число XXIII содержит две цифры номиналом 10 и три цифры номиналом 1, в итоге получается число 23. Если цифры в числе записаны в порядке убывания номиналов, то значения цифр нужно складывать. Если слева от цифры большего номинала записана меньшая цифра, то ее значение нужно вычесть из большей. Например, число IV — это 4, а VI — это 6, аналогично, IX — это 9, а XI — 11, аналогично XL — это 40, а LX — 60.

Римская система счисления была принята для нумерации глав в книгах, в настоящее время книги печатают на компьютерах, и римская нумерация стала неудобной, поэтому применяется редко. До сих пор Римская система счисления используется для нумерации веков и маркировки циферблатов стрелочных часов. Например, знаменитые часы на Спасской башне Кремля, по которым вся Россия встречает Новый год, размечены по Римской системе счисления.

В позиционных системах счисления вклад цифры в значение числа определяется не только ее номиналом, но и местом в записи числа, так называемым разрядом. Нумерация разрядов ведется справа налево — от младших к старшим.

Примером позиционной системы счисления является Индо-арабская система, созданная в Индии в V веке н.э. Алфавит ее составляют всем хорошо известные арабские цифры от 0 до 9. В первом разряде числа (крайнем правом) вклад цифры в число равен номиналу, во втором справа разряде цифру нужно умножить на 10, в третьем на 100, в четвертом на 1000 и так далее, а затем сложить.

Например, в индо-арабской записи число 239 состоит из 9 единиц, 3 десятков и 2 сотен, т.е. 239 = 91 + 310 + 2100.

Число цифр в алфавите индо-арабской системы счисления равно 10, стоимость (вес) каждой цифры — это степени числа 10: в первом разряде — это 10 в нулевой степени (т.е. 1), во втором — 10 в первой степени (т.е. 10), в третьем — 10 во второй степени (т.е. 100) и т.д. Естественно, такая система счисления получила название десятичной в честь ее основания — числа 10. Создана она была настолько удачно, что дошла до наших дней практически неизменной. Людям, пользующимся десятичной системой счисления с первого класса, она кажется вполне естественной и удобной.

Однако в основу компьютерной техники была положена другая позиционная система счисления — двоичная.

Запись числа в двоичной системе аналогична десятичной с той разницей, что основанием системы является число 2. В алфавите системы только две цифры: 0 и 1. Стоимость (вес) цифры в записи числа — это степени числа 2: в крайнем правом разряде это 2 в нулевой степени (т.е. 1), во втором — 2 в первой степени (т.е. 2), в третьем — 2 во второй степени (т.е. 4), и т.д.

Например, двоичное число 1011 означает сумму одной единицы, одной двойки, ноля четверок и одной восьмерки: 1011 = 11 + 12 + 04 + 18, что в десятичной записи равно числу 11. Если используются несколько систем счисления, то во избежание путаницы справа от числа пишут основание системы.

В рассмотренном примере можно записать 1011₂ = 11₁₀. Первые 8 чисел натурального ряда выглядят в двоичной и десятичной системе по-разному, начиная с 2:

0₂ = 0₁₀

1₂ = 1₁₀

10₂ = 2₁₀

11₂ = 3₁₀

100₂ = 4₁₀

101₂ = 5₁₀

110₂ = 6₁₀

111₂ = 7₁₀