1. Поступательное движение

Поступательным называют такой вид движения абсолютно твердого тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, движении остается параллельной самой себе.

Иными словами, при поступательном движении пространственная ориентация тела не меняется.

Примеры поступательного движения тел: ступенька в движущемся эскалаторе, кабина в колесе обозрения.

 Рис. 2.10

Пусть некоторое тело, в котором выделены точки А и В перемещается поступательно (рис.2.10). При таком движении, согласно определению, отрезок АВ не меняя пространственную ориентацию, перемещается в новое положение А′В′. Положения точек А и В в пространстве определяются радиус-векторами и . Тогда, в соответствии с правилом сложения векторов,:

= + .

(2.33)

Поскольку отрезок неизменен по величине и направлению, все точки траектории В (линии ВВ′, или годографа радиус-вектора ) смещены от точек траектории А (линии АА′, или годографа радиус-вектора ) на длину АВ и в направлении . Это означает, что траектории точек А и В одинаковы и линии ВВ′ и АА′ при их наложении совпадут.

Продифференцируем (2.33) по времени:

.

Поскольку отрезок - векторная константа, его производная по времени равна нулю: , то выражение переходит в равенство скоростей точек:

= .

(2.34)

Очередное дифференцирование (2.34) приводит к равенству ускорений рассматриваемых точек:

= .

(2.35)

Поскольку А и В – произвольно выбранные в теле точки, то из предыдущего следует, что при поступательном движении все точки абсолютно твердого тела двигаются по одинаковым траекториям и имеют равные скорости и равные ускорения в любой момент времени.

В этих условиях для описания поступательного движения тела достаточно знать, как движется хотя бы одна его точка, что сводит задачу к уже рассмотренной выше кинематике материальной точки.

Как будет следовать из анализа других видов движений твердого тела, только поступательное движение обладает указанными свойствами. Это значит, что кроме поступательного, при всех других видах движения точки тела двигаются с различными скоростями и ускорениями.

Таким образом, понятия «скорость тела» или «ускорение тела», движущегося не поступательно, не имеют смысла и их использовать некорректно.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Приведите еще примеры плоскопараллельного движения.

2. К чему приводится описание плоскопараллельного движения твердого тела?

2. Вращательное движение

Вращение - это такой вид движения абсолютно твердого тела, при котором у тела есть две неподвижные точки.

Прямая, проходящая через эти неподвижные точки, называется осью вращения тела.

И з геометрических соображении легко показать, что все точки абсолютно

Рис 2.11

твердого тела, лежащие на оси вращения, также неподвижны.

Пусть ось вращения тела связана с точками А и В (рис.2.11). Произвольная точка К абсолютно твердого тела может находиться на фиксированных расстояниях от точек А и В. Геометрическими местами точек, равноудаленных от них, являются сферы с радиусами АК и ВК соответственно. Их пересечение – окружность радиуса h, центр которой лежит на оси АВ. Таким образом, при вращении тела все точки тела описывают окружности с центрами, лежащими на оси вращения тела.

Скалярные характеристики вращательного движения

Угол поворота тела

При повороте тела на некий угол φ произвольная точка К переместится вдоль окружности радиуса h по дуге , причем связь длины дуги (криволинейной координаты s) с углом поворота тела определяется выражением:

=

(2.36)

Путь, пройденный точкой тела при его вращении, равен произведению радиуса на угол поворота тела.

Здесь φ – угол поворота тела в радианах, определяет закон вращательного движения тела вокруг оси:

φ = φ(t).

(2.37)

Угловая скорость вращения

Продифференцируем (2.35) по времени, учтя, что радиус h постоянен:

.

(2.38)

Введем понятие угловой скорости вращения тела:

(2.39)

Угловая скорость есть производная по времени от угла поворота.

Размерность угловой скорости – радианы в секунду (радс). Поскольку радиан – безразмерная единица (определяется как отношение длины дуги окружности, равной радиусу, к самому радиусу), часто вместо радиана в размерности угловой скорости ω пишут единицу (1с, или с^-1).

Тогда, используя (2.16), выражение (2.37) запишется в виде:

Vτ = ω∙h

(2.40)

Алгебраическая скорость точки тела при его вращении равна произведению угловой скорости на радиус.

Заметим, что направление вектора скорости, как и в общем случае движения точки по траектории, направлен вдоль касательной к траектории, а в нашем случае – по касательной к окружности, т.е. перпендикулярно радиусу (см. рис. 2.11).

Угловое ускорение тела

Снова продифференцируем по времени (2.40):

.

(2.41)

Введем понятие углового ускорения тела:

(2.42)

Угловое ускорение есть производная по времени от угловой скорости или вторая производная от угла поворота.

Размерность углового ускорения – радианы в секунду в квадрате (радс²), или 1 с², с^-2).

Учтя (2.28) и (2.42), выражение (2.41) приобретет вид:

aτ = ε∙h

(2.43)

Касательное ускорение точки тела при его вращении равно произведению углового ускорения на радиус.

Выражение для второго компонента ускорения – нормального ускорение точки может быть получено с использованием (2.28) и (2.40), если в качестве радиуса кривизны ρ принять радиус окружности траектории движения точки h:

Окончательно:

an = ω2∙h

(2.44)

Нормальное ускорение точки тела при его вращении равно произведению квадрата угловой скорости на радиус.

Полное ускорение точки, с учетом (2.29), (2.43) и (2.44), будет:

.

(2.45)

Угол μ между главной нормалью и полным ускорением определим по формуле (2.30) с использованием выражений (2.43) и (2.44):

.

(2.46)

Из полученного результата (2.46) следует, что поскольку угол μ не зависит от выбора точки тела и его величина определяется только параметрами углового движения тела, то вектора полных ускорений точек вращающегося тела ориентированы по отношению к радиусам точек под одним и тем же углом.

Изобразим графически полученные соотношения, рассматривая вращающееся тело со стороны оси вращения. Рисунки, на которых изображены вектора и указаны изменения при их приложении к различным точкам, называются планами или эпюрами. Угловые характеристики вращения тела – угол поворота φ, угловую скорость ω и угловое ускорение ε в таких случаях принято изображать в виде круговых стрелок вокруг оси вращения. Направления стрелок связано с положительной величиной соответствующего углового параметра (рис.2.12, а также 2.11).

Рис. 2.12

Вектора скоростей точек вращающегося тела направлены перпендикулярно радиусам и будут меняться пропорционально их величинам. План скоростей для точек вращающегося тела выглядит так:

Рис. 2.13

Вектора ускорений точек вращающегося тела направлены под углом μ

к радиусам и будут меняться пропорционально их величинам. План ускорений для точек вращающегося тела выглядит так:

Рис. 2.14

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте определения понятий «угловое перемещение», «угловое скорость» и «угловое ускорение» при вращательном движении тела.

2. Какими формулами определяется аналитическую связь между угловыми параметрами (φ, ω, ε) вращающегося твердого тела и кинематическими характеристиками движения его точек (s, V, a_τ , a_n , a)?

3. В какую сторону будет вращаться тело (рис.2.13), если его угловая скорость ω отрицательна?

Частные случаи вращательного движения

1. Угловое ускорение отсутствует (равно нулю) (ε=0).

Поскольку угловое ускорение определяется формулой (2.42) как производная по времени от угловой скорости и равна нулю, это означает отсутствие изменений угловой скорости во времени, т.е. она постоянна (ω = const). При постоянной угловой скорости путь угол меняется по линейному закону от времени. Такой вид движения носит название равномерное вращение тела и характеризуется следующими зависимостями от времени угловых характеристик:

(2.47)

где угловая скорость и угол поворота тела в начальный момент времени, т.е. при .

Следует отметить, что в технике широко применяются т.н. «технические» единицы измерения вращательного движения: число оборотов (N, об), скорость вращения (n, об/мин, либо об/с). Связь между угловыми и техническими единицами легко установить, исходя из соотношений между одним оборотом и радианом, минутой и секундой и сводится к следующим формулам:

(2.48)

2) Угловое ускорение – постоянная величина ( ).

Из (2.42)следует, что поскольку угловое ускорение постоянно по времени, угловая скорость меняется линейно от времени, а угол поворота – по квадратичному закону. Этот случай движения носит название равнопеременное вращение тела и математически выражается следующими зависимостями:

(2.49)

Так же, как и при движении точки, различают равноускоренное вращение (ε > 0) и равнозамедленное движение (ε < 0). При равноускоренном вращении скорость равномерно нарастает, при равнозамедленном – падает.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте законы изменения углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения при равномерном вращении тела.

2. Сформулируйте законы изменения углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения при равнопеременном вращении тела.

3. В какую сторону будет вращаться тело (рис.2.13), если его угловая скорость ω отрицательна?

Векторные характеристики вращательного движения

Введенные в предыдущих параграфах скалярные параметры (угол поворота φ, угловая скорость ω и угловое ускорение ε) характеризуют вращательное движение тела, но обладают одним недостатком: они не несут в себе информацию о расположении и ориентации оси вращения тела. В скалярном рассмотрении это указывается отдельно.

Можно придать этим характеристикам векторный характер, введя, например, вектора угловой скорости и углового ускорения тела. Расположение и ориентация векторов будут соответствовать оси вращения тела, т.е. они будут направлены вдоль оси по направлению движения правого винта (если его вращать в сторону действующих угловой скорости ω и углового ускорения ε), а их модули будут равны, соответственно, численным (скалярным) значениям угловой скорости и углового ускорения (рис.2.15).

(2.50)

Р ис.2.15

Проведем из точки О на оси АВ радиус-вектор точки К (рис. 2.16).

Исследуем, что такое векторное произведение × ?

Рис.2.16

Вектор × перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е. плоскости, образованной вектором (ось вращения АВ) и радиус-вектором . Вектор × , в соответствии с правилом правого винта, ориентирован по направлению вектора скорости . Модуль вектора ‌‌ ‌ равен . Следовательно, вектор, направленный вдоль и равный по модулю , в соответствии с (2.17), и есть вектор скорости :

.

(2.51)

Продифференцируем обе части равенства (2.51) по времени:

.

Выражение слева – вектор полного ускорения точки К. Вектор, соответствующий первому слагаемому справа ( ), так же, как и вектор × , лежит вдоль касательной к окружности радиуса h и его модуль ‌‌ ‌ равен касательному (тангенциальному) ускорению точки вращающегося тела: . Вектор, соответствующий второму слагаемому справа ( ), направлен по радиусу h к оси вращения (см. «Правило правого винта» и рис. 2.15). Модуль этого вектора равен нормальному (центростремительному) ускорению точки вращающегося тела: . Таким образом, получены формулы для полного, касательного и нормального ускорений в случае задания вращения тела в векторной форме:

, , .

(2.52)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как определить величину и направление вектора скорости точки вращающегося тела, зная вектор его угловой скорости?

2. Как определить величину и направление вектора ускорения точки вращающегося тела, зная вектора его угловых скорости и ускорения ?

3. Куда будет ориентирован вектор углового ускорения (рис.2.16), если скорость вращения тела уменьшается?