2.1.3 Ускорение точки

Ускорение точки при векторном способе задания движения.

Рассмотрим изменение скорости точки при её перемещении по траектории.

Рис.2.7

Пусть  – вектор скорости точки в положении М, а - в положении М₁, тогда приращение скорости за время t:

.

Перенеся вектор в точку М (рис.2.6), построим приращение вектора скорости .

Отношение  t   - среднее ускорение:

 

.

(2.18)

Направление вектора совпадает с направлением .  Предел соотношения   (2.18) при t  0   есть мгновенное ускорение точки М в момент t, или просто вектор ускорения:

.

(2.19)

Вектор ускорения есть производная по времени от вектора скорости или вторая производная от радиус-вектора.

Вектор лежит в плоскости, образуемой векторами и _, проведенным из точки М. При t  0  точка М₁ стремится к М и плоскость действия векторов скоростей при изменении направления  , будет менять свое положение в пространстве, поворачиваясь вокруг вектора  .

В пределе при t  0  и М₁  М векторы  и , как касательные к траектории в точках М и М₁, определят плоскость, которая называется: соприкасающаяся плоскость к траектории в точке М.

Таким образом, вектор ускорения  лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

Модуль ускорения измеряется в системе СИ – в м/с² (метр в секунду в квадрате).

Ускорение точки при координатном способе задания движения.

Если выражение (2.11) подставить в формулу (2.19), получим:

_.

Как и всякий вектор, вектор ускорения   можно написать в виде:

.

(2.20)

Сравнивая два последних выражения, представляющие один и тот же вектор, получим правила вычисления проекции вектора ускорения на оси координат: 

(2.21)

Проекции вектора ускорения точки на оси равны производным по времени от соответствующих проекций скорости на эти оси, либо вторым производным от соответствующих координат.

Модуль вектора ускорения вычисляется по формуле:

,

(2.22)

 

а его направляющие косинусы:

.

(2.23)

Замечание. В случае, когда движение точки происходит в плоскости Oxy, в приведенных формулах должны быть отброшены проекции на ось Oz.

  Полученные выражения  позволяют решать две задачи кинематики точки: по известным характеристикам движения точки (V_x, V_y, V_z, a_x, a_y, a_z) находить закон её движения x(t), y(t), z(t), и, наоборот, по известному закону движения точки находить кинематические характеристики движения.

 Ускорение точки при задании движения в естественных осях.

Поскольку касательный орт меняет свое направление при движении точки М, т.е. меняется с течением времени ( = (t)), продифференцируем по времени скорость в соответствии с (2.17) как произведение двух функций:

.

(2.24)

Рис. 2.8

Найдем значение по величине и направлению. Очевидно, что

.

На рисунке 2.8 изображены касательные орты при различных положениях точки на траектории.   При сближении точек друг к другу  (М₁  М и Δs→0) угол между ортами стремится к нулю , а угол между приращением касательного орта и самим касательным ортом – к 90⁰ ( ). В пределе , который направлен по перпендикуляру к касательной, лежащему в соприкасающейся плоскости, который называют главной нормалью. Если орт нормали обозначить символом ,  то предстанет в виде:

При выводе учтено, что один из пределов сводится к первому замечательному пределу, равному единице: _.

Производная от угла     поворота касательной по длине дуги равна кривизне кривой в данной её точке или величине, обратной радиусу  кривизны кривой в данной её точке:

^.

Выражение (2.24) с учетом выведенных соотношений принимает вид

.

(2.25)

Таким образом, ускорение  имеёт два составляющих вектора в соприкасающейся плоскости:

.

(2.26)

Первый вектор направлен по касательной и носит название касательное или тангенциальное ускорение , а второй – по главной нормали к  траектории и носит название нормальное или центростремительное ускорение (рис. 2.9). Полное ускорение – их векторная сумма:

.

(2.27)

 Рис. 2.9

 Величины этих векторов также называют касательным и  нормальным ускорениями точки М соответственно:

.

(2.28)

Таким образом:

• касательное ускорение точки равно первой производной от алгебраической скорости или второй производной от криволинейной координаты точки по времени и характеризует изменение вектора скорости по величине;

• нормальное ускорение точки равно квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой, и характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Величина полного ускорения точки, учитывая перпендикулярность векторов и , находится по теореме Пифагора:

.

(2.29)

Анализ величин в выражениях (2.28) показывает, что нормальное ускорение не отрицательно, что означает, что вектор полного ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории, а тангенс угла μ между главной нормалью и полным ускорением определяется по формуле:

.

(2.30)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Чему равен и как направлен в пространстве вектор ускорения?

2. Как определяется ускорение в координатных и естественных осях?

3. Как по проекциям на координатные и естественные оси найти величину и направление вектора ускорения?