2.1.2 Скорость точки

 

Скорость точки при векторном способе задания движения.

Пусть в некоторый момент времени t точка находится в положении М и её радиус-вектор равен = . За некоторое время t точка перемещается в положение M₁, определяемое соответствующим радиус-векторомr₁ = (рис.2.3).

 

 

Рис.2.3

В соответствии с правилом сложения векторов методом треугольника: 

,

откуда следует, что отрезок есть приращение радиус-вектора:

Вектор получил специальное название – перемещение.

Отношение    t  называется средней скоростью точки М за время t:

(2.9)

Средняя скорость   точки является величиной векторной. Поскольку деление вектора на скаляр дает вектор, средняя скорость   точки направлена по хорде (рис.2.4).

Рис.2.4

Предельное значение соотношения (2.9) при стремящемся к нулю интервале времени t  называется скоростью точки в данный момент времени (вектором мгновенной скорости):

= .

(2.10)

Таким образом, вектор (мгновенной) скорости есть производная по времени от радиус-вектора.

Краткое обозначение производной по времени – точка (˙) над символом дифференцируемой величины (в отличие от символа производной (′) по другой переменной в виде штриха).

Направление вектора скорости связано с предельным положением хорды (рис.2.3), т.е. направлен по касательной к траектории движения точки в сторону её движения.

При прямолинейном движении вектор скорости всегда направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по величине; при криволинейном движении кроме модуля изменяется и направление вектора скорости точки.

Модуль скорости имеёт единицу измерения в системе СИ - м/с (метр в секунду).

Скорость точки при координатном способе задания движения.

Векторная форма не всегда удобна для оценки количественных значений величин. Для нахождения численных оценок воспользуемся координатным способом задания движения точки. 

Подставляя выражение (2.5) в формулу (2.9), найдем

  _.

С другой стороны, векторV можно представить аналогично (2.5), т.е.

.

(2.11)

 

Отсюда найдем правила вычисления проекций вектора скорости на оси координат через закон движения точки, заданный координатным способом:

.

(2.12)

Таким образом, проекции вектора скорости точки на оси равны производным по времени от её координат на соответствующие оси.

Модуль вектора скорости через его проекции вычисляется по формуле

,

(2.13)

а направление - с помощью величины направляющих косинусов:

(2.14)

Скорость точки при задании движения в естественных осях.

Пусть за время t криволинейная координата s получила приращение s (рис. 2.5). Величина s – это путь, пройденный точкой за время t.

 

Рис. 2.5

 Отношение пути ко времени его прохождения:

(2.15)

определяется как средняя скорость точки, а предельное значение этого отношения при t  0 называют числовым (алгебраическим) значением скорости.

.

(2.16)

Найдем модуль вектора скорости. Используя (2.10), и полагая, что элементарное перемещение связано с элементарным путем простым соотношением (где - орт касательной к траектории точки), получим:

.

(2.17)

В зависимости от знака производной вектор скорости может быть направлен в положительном направлении отсчета криволинейной координаты s ( >0), либо в противоположном направлении ( < 0), т.е. против направления касательной оси .

Таким образом, величина определяет одновременно и модуль скорости, и сторону, в которую направлен вектор вдоль касательной.

Рис.2.6

Так на рис.2.6 вектор скорости направлен по направлению криволинейной координаты s, вдоль касательного орта , что означает наличие положительного знака у алгебраической скорости в рассматриваемом случае.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Чему равен и как направлен в пространстве вектор скорости?

2. Как определяется скорость в координатных и естественных осях?

3. Как по проекциям найти величину и направление вектора скорости точки?