2.1.1 Способы задания движения точки

Рассмотрим последовательно три способа задания движения точки:

- векторный;

- координатный;

- способ задания движения в естественных осях.

Векторный способ задания движения

Соединим начало координат с движущейся по траектории материальной точкой М отрезком , называемый радиус-вектором точки М (рис.2.1). Положение точки М будет определено, если известен в любой момент времени радиус-вектор:

.

(2.1)

Математически выражение (2.1) означает, что известны модуль радиус-вектора и его ориентационные углы α, β, γ относительно осей x, y, z, т.е. заданы функции:

r=r(t), α=α(t), β=β(t), γ=γ(t).

(2.2)

Геометрическое место концов векторов (t), называемое также годографом вектора , определяет траекторию движущейся точки.

Координатный способ задания движения

Поскольку точка приложения (т. О) радиус-вектора r совпадает с началом отсчета в декартовой системе координат, проекции r_x, r_y, r_z её радиус-вектора r равны декартовым координатам точки (рис.2.1):

x = r∙cos α = rx, y = r∙cos β = ry, z = r∙cos γ = rz.

(2.3)

Таким образом, для установления положения точки в пространстве достаточно задать зависимости координат точки от времени:

x=x(t), y=y(t), z=z(t).

(2.4)

Зависимости (2.4) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Между векторным и координатным способами задания движения можно установить векторную связь:

,

(2.5)

где , , - орты осей декартовой системы отсчета.

В аналитической форме такая связь устанавливается следующими соотношениями:

(2.6)

Задание движения в естественных осях

Если траектория движения точки М известна, то положение точки на  траектории можно определить алгебраической функцией s(t), так называемой криволинейной координатой, отсчитываемой по дуге  траектории от предварительно выбранной точки отсчета О (рис.2.2),

 

Рис.2.2

 

s = s(t).

(2.7)

Выражение (2.7) называют законом движения точки при естественном способе задания движения.

Между естественным и координатным способами задания движения можно установить дифференциальную связь:

.

(2.8)

Выражение (2.8) получено из общего правила нахождения длины отрезка (в нашем случае элементарного участка траектории ds) через свои ортогональные проекции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. В чем заключается векторный способ задания движения?

2. Чем характеризуется положение точки при координатном способе задания движения?

3. Как задается движение точки в естественных осях?