Дифференциальные уравнения движения
Дифференциальные уравнений движения точки
Вернемся к выражению основного закона динамики точки в виде (3.2), записав его в виде векторных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков (нижний индекс будет соответствовать номеру силы):
|
|
(3.17) |
,
.
Записанные равенства (3.17) есть дифференциальные векторные уравнения движения материальной точки.
Их можно преобразовать в систему алгебраических (3.18) или дифференциальных (3.19) уравнений движения материальной точки в координатной форме, спроецировав равенство (3.2) и, например, 2-ое уравнение (3.17) на оси координат:
|
|
(3.18) |
|
|
(3.19) |
Используя (2.28), системы алгебраических (3.20) и дифференциальных (3.21), (3.22) уравнений движения точки в естественных осях можно получить, спроецировав (3.2) и (3.17) на естественные оси (напомним, бинормальный компонент вектора ускорения равен нулю) :
|
|
(3.20) |
|
|
(3.21) |
|
|
(3.22) |
Сравним, например, системы уравнений
(3.19) и (3.21). Легко увидеть, что в описание
движения точки в координатных осях
сводится к 3-м дифференциальным
уравнениям 2-го порядка, или (после
преобразования), к 6-и уравнениям 1-го
порядка. В тоже время описание движения
точки в естественных осях связано со
смешанной системой уравнений, состоящей
из одного дифференциального уравнения
1-го порядка (относительно скорости
)
и двух алгебраических.
Отсюда можно сделать вывод, что при анализе движения материальной точки проще решать задачу, формулируя уравнения движения в естественных осях.
Необходимо отметить, что при решении
1-й задачи динамики дифференциальные
уравнения превращаются в алгебраические,
решение системы которых является
тривиальной задачей. При решении 2-ой
задачи динамики для решения системы
дифференциальных уравнений необходимо
сформулировать задачу Коши, т.е. добавить
к уравнениям т.н. «краевые» условия. В
нашем случае – это условия, налагающие
ограничения на положение и скорость в
начальный (конечный) момент времени,
или т.н. «начальные
условия» в виде
заданных
.
В алгебраическом виде для координатных осей эти условия такие:
|
|
(3.23) |
Соответственно, для осей естественного трехгранника начальные условия таковы:
|
|
(3.24) |
.
Дифференциальные уравнений движения механической системы
Рассмотрим некую механическую систему.
Как уже говорилось в параграфе 1.1.1, силы
можно разделить на внешние
и внутренние.
Внешними силы (маркируются индексом
«e»,
)
действуют на точки системы со стороны
других, внешних тел, внутренние силы
(маркируются индексом «i»,
),
действуют между точками данного тела
(системы).
Поскольку по закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда парные (действуют на каждую из двух взаимодействующих точек), они равны, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки, то их сумма попарно равна нулю. Кроме того, сумма моментов этих двух сил относительно любой точки также равна нулю. Это означает, что сумма всех внутренних сил и сумма моментов всех внутренних сил механической системы порознь равны нулю:
|
|
(3.25) |
,
|
|
(3.26) |
.Равенства (3.25) и (3.26) отражают свойства внутренних сил механической системы.
Пусть на некую k–ю материальную
точку механической системы действуют
одновременно как внешние, так и внутренние
силы. Поскольку они приложены к одной
точки, их можно заменить равнодействующими
соответственно внешних (
)
и внутренних (
)сил.
Тогда основной закон динамики k–й
точки системы может быть записан, как
,
следовательно для всей системы будет:
|
|
(3.27) |
Формально число уравнений в (3.27) соответствует числу n точек механической системы.
Выражения (3.27) представляют собой
дифференциальные
уравнения движения системы в векторной
форме, если в них заменить
вектора ускорений первой или второй
производными от скорости и радиус-вектора
соответственно:
По аналогии с уравнениями движения
одной точки (3.19) эти векторные уравнения
можно преобразовать в систему из 3n
дифференциальных уравнений 2-го
порядка (предоставляем возможность
читателю сделать это самостоятельно).
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Напишите дифференциальные уравнения движения точки в векторной и координатной формах, а также в проекциях на естественные оси.
2. Сформулируйте оба свойства внутренних сил механической системы.