3. Основные виды сил

Прежде всего, введем разделение всех встречающихся в природе сил на активные и реактивные (реакции связей).

Активной называют такую силу, которая может привести в движение покоящееся тело.

Реакция связи возникает в результате действия активной силы на несвободное тело и препятствует перемещению тела. Собственно поэтому, являясь следствием, откликом, последействием активной силы, она так и называется (reaction).

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах механики силы.

Сила тяготения

Эта сила гравитационного притяжения между двумя телами, определяемая законом всемирного тяготения:

(3.3)

где γ – гравитационная постоянная, равная 0,6673·10^-10 м³/кг·с².

Сила тяжести

Эта сила, действующая на любое тело у поверхности Земли, направлена вертикально вниз. Она является частным случаем закон гравитационного притяжения для случая, когда (радиус Земли) и m₂ = M_З (масса Земли) и при m₁ = m определяется выражением:

(3.4)

где - ускорение свободного падения у поверхности Земли, численно равное g ≈ 9,8 м/с², m – масса тела, или механической системы, определяемая как совокупная масса всех точек системы:

.

(3.5)

Здесь - масса k-ой точки системы, n – число точек в системе. Сила тяжести – равнодействующая сил тяжестей всех точек механической системы и приложена к т.н. «центру масс» механической системы (т. С), положение которой в пространстве определяется радиус-вектором :

(3.6)

где - радиус-вектор k-ой точки системы. Координаты центра масс можно получить, спроецировав обе части равенства (3.6) на оси:

(3.7)

Помимо прямого использования формулы (3.7) для систем с конечным числом материальных точек, существуют методы определения центра масс систем с бесконечным числом точек (распределенные системы). Легко преобразовать выражение (3.6) в интегральную форму, взяв вместо дискретной массы массу элементарного объема dm=ρdV:

где .

(3.8)

Здесь ρ( ) – плотность тела, в общем случае зависящая от координаты, V - объем тела. В случае однородных тел формулы упрощаются:

.

(3.9)

Аналогичные преобразования можно выполнить для плоских тел (S – площадь поверхности плоского тела):

,

(3.10)

и линейно вытянутых тел, или стержней ( – длина стержня):

.

(3.11)

Координаты центра масс фигур можно получить по аналогии с (3.7), спроецировав (3.9)-(3.11) на оси.

Представляется очевидным (исходя из свойств интегралов), что центр тяжести симметричных однородных тел располагается в центре, на линии или плоскости симметрии (центре шара, на оси конуса, в серединной плоскости клина и т.д.).

На практике для оценки положения центра масс часто используют два приема:

• М етод разбиения тела на части.

Рис.3.1

Если разбить тело на части, массы и центры тяжести которых известны, то можно воспользоваться формулами для дискретного суммирования (3.6). Так для тела, изображенного на рисунке 3.1, радиус-вектор центра масс и соответственно, его координаты определяется по следующему выражению:

.

• Метод отрицательных масс.

Если в теле есть полость объемом V', где нет массы, то можно поступить следующим образом: считать ее заполненной веществом наряду с другими областями тела. Если при этом известно расположение центра масс С₁ этой заполненной полости и центра масс С₂ самого тела вместе с заполненной полостью, то для получения оценки положения центра масс С тела с пустой полостью необходимо вычесть из сплошного тела область тела в форме полости, т.е. фактически воспользоваться дискретной формулой с одним отрицательны слагаемым:

.

Сила трения

В инженерных расчетах исходят из экспериментально установленных закономерностей, называемых законами сухого трения (в отсутствии смазки), или законами Кулона:

• При попытке сдвинуть одно тело вдоль поверхности другого возникает сила трения (сила трения покоя ), величина которой может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения .   

• Величина предельной силы трения , равна произведению некоторого безразмерного, экспериментально определяемого коэффициента трения f на силу нормального давления  N, т.е.

.

(3.12)

• По достижению предельного значения силы трения покоя за исчерпанием сцепных свойств сопрягающихся поверхностей тело начинает перемещаться вдоль опорной поверхности, причем сила сопротивления движению практически постоянна и не зависит от скорости (разумных пределах). Эта сила называется силой трения скольжения и она равна предельному значению силы трения покоя.

• Величина силой трения скольжения в широких пределах не зависит от размеров соприкасающихся поверхности.

Приведем значения коэффициента трения для некоторых тел:

Табл. 1

Материалы контактирующих поверхностей	Коэффициент трения скольжения f
Бронза по чугуну	0,16
Бронза по железу	0,19
Сталь по стали	0,15
Металл по дубу	0,62
Дуб по дубу (волокна параллельны)	0,62
Дуб по дубу (волокна перпендикулярны)	0,54
Кожаный ремень по дубовому шкиву	0,47
Кожаный ремень по чугуну	0,28
Камень или кирпич по кирпичу	0,5-0,73
Камень или кирпич по железу	0,42-0,49
Камень или кирпич по дереву	0,46-0,60
Сталь по льду	0,027

 Трение качения

Рис.3.2

При качении колеса без проскальзывания (рис. 3.2) реакция опоры несколько смещается вперед по ходу движения колеса. Причина этого – в несимметричности деформации материала колеса и опорной поверхности в зоне контакта. Под действием силы давление у края В зоны контакта возрастает, а у края А убывает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону движения колеса на величину k, называемой коэффициентом трения качения. На колесо действует пара сил и с моментом сопротивления качению, направленным против вращения колеса:

.

(3.13)

Приведем значение коэффициента трения качения для некоторых материалов:

Табл. 2

Материалы контактирующих поверхностей	Коэффициент трения качения, см. k
Дерево по дереву	0,05-0,08
Сталь мягкая по стали (колесо по рельсу)	0,005
Сталь закаленная по стали (шариковый подшипник)	0,001

В условиях равновесия при равномерном качении моменты пар сил , и , уравновешивают друг друга: , откуда вытекает оценка значения силы, направленной против движения тела: . Отношение для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f. Этим и объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.

Сила упругости

Эта сила, с которой деформированное тело стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние. Если, например, растянуть пружину на величину λ, то сила упругости и ее модуль равны, соответственно:

.

(3.14)

Знак минус в векторном соотношении показывает, что сила направлена в противоположную сторону от перемещения . Величина с носит название «жесткость» и имеет размерность Н/м.

Сила вязкого трения

Эта сила действует против вектора скорости тела, двигающегося в вязкой среде, и определяется следующими соотношениями:

,

(3.15)

где - вектор скорости движения тела, μ – коэффициент сопротивления.

Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления

Как и все остальные силы сопротивления движению, направлена против скорости тела. Величину ее обычно пишут в следующем виде:

,

(3.16)

где выражение носит название ветровой напор, – плотность среды, V – скорость тела, S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (мидель). Безразмерный коэффициент - называется: коэффициент (лобового) сопротивления и определяется экспериментально.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как определить центр масс механической системы?

2. Сформулируйте законы сухого трения и трения качения. Одинаковые или разные размерности у коэффициентов трения f и трения качения k?

3 Чему равна и куда направлена сила упругости?