4.2. Потери напора при ламинарном течении жидкости

Как показывают исследования, при ламинарном течении жидкости в круглой трубе максимальная скорость находится на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к её оси скорости нарастаю плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью - квадратичную параболу (рис.4.2).

Рис. 4.2. Схема для рассмотрения ламинарного потока

Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид:

(4.2.1)

где P₁ и P₂ - давления соответственно в сечениях 1 и 2; μ -динамический коэффициент вязкости.

У стенок трубы величина r = R, значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной: (4.2.2)

Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Так как эпюра распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объёму этого параболоида. Определим этот объём. Максимальная скорость даёт высоту параболоида:

Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью πR² равен

а в нашем случае: (4.2.3)

Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула приобретёт вид:

(4.2.4)

Среднюю скорость по сечению найдём делением расхода на площадь:

(4.2.5)

Сравнение этого выражения с формулой (4.2.2) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной:

Для определения потерь напора при ламинарном течении жидкости в круглой трубе рассмотрим участок трубы длиной l, по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рис.4.2). Потеря давления в трубопроводе будет равна (из формулы (4.2.5):

(4.2.6)

Если в формуле динамический коэффициент вязкости μ заменить через кинематический коэффициент вязкости ν и плотность ρ ( μ = ν*ρ ) и разделить обе части равенства на объёмный вес жидкости γ = ρ g, то получим: (4.2.7)

Так как левая часть полученного равенства равна потерям напора h_пот в трубе постоянного диаметра, то окончательно это равенство примет вид: (4.2.8)

Полученный закон сопротивления называют законом Пуазейля² и используют для расчёта трубопроводов с ламинарным течением. Уравнение может быть преобразовано в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так: , где λ - коэффициент гидравлического трения, который для ламинарного потока вычисляется по выражению: . Однако при ламинарном режиме для определения коэффициента гидравлического трения λ Т.М. Башта рекомендует при Re < 2300 применять формулу: .

4.3. Потери напора при турбулентном течении жидкости

К

ак было указано для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерять пульсации, например, скорости по времени в фиксированной точке потока, то получим картину, подобную показанной на рис.4.3. Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осреднённого по времени значения υ_оср, которое в данном случае остается постоянным. Характер линий тока в трубе в данный момент времени отличается большим разнообразием (рис.4.3).

Рис. 4.3. Пульсация скорости в турбулентном потоке

При турбулентном режиме движения жидкости в трубах эпюра распределения скоростей имеет вид, показанный на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Характер линий тока

в турбулентном потоке

В тонком пристенном слое толщиной δ жидкость течет в ламинарном режиме, а остальные слои текут в турбулентном режиме, и называются турбулентным ядром (рис. 4.5). Таким образом, строго говоря, турбулентного движения в чистом виде не существует. Оно сопровождается ламинарным движением у стенок, хотя слой δ с ламинарным режимом весьма мал по сравнению с турбулентным ядром. Кроме того, турбулентное течение всегда является неустановившимся, так как значения скоростей и давлений, а также траектории частиц, изменяются по времени. Однако его можно рассматривать как установившееся течение при условии, что осреднённые по времени значения скоростей и давлений, а также полный расход потока не изменяются со временем. Такое течение встречается на практике достаточно часто.

Рис. 4.5. Модель турбулентного режима движения жидкости

Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является эмпирическая формула, называемая формулой Вейсбаха-Дарси и имеющая следующий вид:

Различие заключается лишь в значениях коэффициента гидравлического трения λ. Этот коэффициент зависит от числа Рейнольдса Re и от безразмерного геометрического фактора - относительной шероховатости Δ/d (или Δ/r₀, где r₀ - радиус трубы).

Первые систематические опыты для выявления влияния различных параметров на величину λ были проведены Никурадзе³ под руководством Людвига Прандтля в 20-х г.г. XX века в Германии.

Эти опыты проводились в латунных трубах, гладких, что достигалось шлифовкой и с искусственной однородной шероховатостью, которая создавалась наклеиванием зерен песка определённого размера на внутреннюю поверхность труб. В трубах с полученной таким образом определённой шероховатостью при разных расходах измерялась потеря напора и вычислялся коэффициент λ, значения которого наносились на график в функции числа Рейнольдса. Результаты опытов Никурадзе представлены графически на рис. 4.6. На этом графике по горизонтальной оси отложены величины lgRe, а по вертикальной оси — lg(l00 λ). Кривые построены по данным опытов с трубами относительной шероховатости от ε=∆/d= 0,001 (самая нижняя кривая) до ε=0,033 (самая верхняя кривая).

Анализируя представленный график, можно сделать следующие выводы: cуществуют четыре различные области.

Рис. 4.6. График Никурадзе

1. Область ламинарного режима (I). В области ламинарного режима (т.е. при Re < 2300, чему соответствует lg Re < 3,36) опытные точки, независимо от шероховатости стенок, уложились на одну прямую линию I. Следовательно, здесь λ зависит только от числа Рейнольдса и не зависит от шероховатости, т.е. λ =f (Re).

Остальные участки кривых (II, III, IV) относятся к турбулентному движению.

В области перехода от ламинарного движения к турбулентному Re = 2000-4000 (3,3< lgRe< 3,6) наблюдается большой разброс опытных точек и кривая между I и II на рис. 4.6 проведена условно.

2. Область гидравлически гладких труб (II). В этой области опытные точки для труб с различной шероховатостью располагаются в некотором диапазоне чисел Re на одной прямой II, отрываясь от неё в сторону возрастания коэффициента λ тем раньше, чем больше шероховатость стенок. Таким образом, при некоторых условиях шероховатость не оказывает влияния на потери напора также и при турбулентном движении, т.е. и здесь λ =f (Re).

3. Область смешанного трения (III). Здесь каждая кривая относится к определённому значению относительной шероховатости и величина также меняется с изменением числа Рейнольдса, т.е. коэффициент гидравлического сопротивления зависит как от числа Re, так и от ε (λ =f(Re,ε)).

4. Область «вполне шероховатых труб» (IV), При увеличении числа Re кривые области III переходят в линии, параллельные оси lg Re, т,е. коэффициент λ в этой области не зависит от числа Re и определяется только относительной шероховатостью. Полуэмпиричекая теория турбулентности позволяет предложить выражение для коэффициента λ, исходя из распределения скорости в живых сечениях потока.

Предложенная полуэмпирическая теория не отражает особенностей сопротивления в области смешанного трения.

Опыты Никурадзе проводились в трубах с одной искусственной шероховатостью. Трубы же, применяемые на практике, имеют шероховатость неоднородную и неравномерную. Поэтому долгое время оставалось неясным, насколько правильны будут выводы, полученные Никурадзе на трубах с искусственной шероховатостью, в применении к обычным промышленным трубам с естественной шероховатостью и каковы численные значения шероховатости для подобных труб. Выяснению этих вопросов был посвящен ряд проведенных экспериментальных исследований (работы Колбрука, И.А. Исаева, Г.А. Мурина, Ф.А. Шевелева).

Наибольший интерес представляют опыты Г.А. Мурина по исследованию гидравлических сопротивлений в обычных промышленных стальных трубах, законченные в 1948 г. Результаты этих опытов представлены на графике, изображенном рис. 4.7, показывающем изменение коэффициента λ в зависимости от числа Рейнольдса для стальных труб.

Рис. 4.7. Диаграмма Г.А. Мурина

Подтвердив основные закономерности, установленные Никурадзе, эти опыты показали, что для труб с естественной шероховатостью коэффициент λ в переходной области имеет всегда большие значения, чем в случае вполне шероховатых труб (а не меньше, как у Никурадзе), Поэтому кривые на диаграмме Мурина не имеют впадины, характерной для кривых Никурадзе.

Рис. 4.6.

График Никурадзе

Итак, потери напора, определяемые по формуле Вейсбаха-Дарси, можно определить, зная коэффициент гидравлического сопротивления, который определяется в зависимости от числа Рейнольдса Re и от эквивалентной относительной шероховатости. Для удобства сводные данные по определению λ представлены в таблице 4.1. Пользоваться приведенными в табл. 4.1 формулами для определения коэффициента λ не всегда удобно. Для облегчения расчетов можно воспользоваться номограммой Колбрука-Уайта (рис.4.8), при помощи которой по известным Re и Δ_э/ d весьма просто определяется λ.

Таблица 4.1

Таблица для определения коэффициента гидравлического трения

Рис. 4.8. Номограмма Колбрука-Уайта для определения коэффициента гидравлического трения