Цель работы: определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника; ознакомление с процедурой обработки экспериментальных результатов методом наименьших квадратов.

Приборы и принадлежности: математический маятник, установка, содержащая секундомер и счётчик колебаний, линейка.

1. Методика измерений

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Движение маятника можно описывать углом отклонения φ от положения равновесия. Так как при движении маятник вращается относительно оси, проходящей через точку О, то необходимо использовать основное уравнение динамики вращательного движения в форме

J·ε = Μ, (1)

где Ј=m·ℓ²- момент инерции математического маятника относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса; ε=φ- угловое ускорение маятника. В проекции на ось вращения (при отсутствии сил сопротивления) уравнение движения маятника принимает вид:

m·ℓ²·φ=-m·g·ℓ·sinφ. (2)

Здесь учтено, что момент силы тяжести Fт определяется как произведение величины силы на плечо, равное ℓ·sinφ. При малых углах отклонения маятника φ≤5º можно использовать приближенные соотношения sinφ≈φ, ℓ·sinφ≈ℓ·φ=x, где x- смещение маятника из положения равновесия, и придать уравнению (2) следующий вид:

x+(g/ℓ)·x=0. (3)

Здесь x- вторая производная смещения по времени, определяющая ускорение материальной точки x=a, тогда как первая производная x=v определяет скорость смещения точки из положения равновесия. Уравнение (3) принято записывать в форме

x+w²0·x=0, w0=√(g/ℓ), (4)

называемой уравнением свободных гармонических колебаний (уравнением гармонического осциллятора). Общее решение этого уравнения имеет вид

x(t)=A·cos(w0·t+β), (5)

где w - циклическая (круговая) частота колебаний, A- амплитуда колебаний, w0·t+β- фаза колебаний, β- начальная фаза колебаний. Циклическая частота определяется непосредственно из уравнения (3), а начальная фаза и амплитуда определяются из начальных условий:

x0=x(0)=A·cosβ, x0=x(0)=-A·w0·sinβ, (6)

откуда следует

A=√(x²0+(x²0/w0)); tgβ=x0/(w0·x0). (7)

Период колебаний математического маятника определяется формулой

T=2π/w=2π√(ℓ/g). (8)

В данной работе моделью математического маятника является небольшой тяжёлый шарик массы m и радиуса R0, подвешенной на бифилярном подвесе длины ℓ (R0<<ℓ).

2. Обработка результатов эксперимента

В ходе выполнения лабораторной работы производятся совместные измерения длин ℓ и периодов колебания T математического маятника. Как видно из формулы (8) функциональную зависимость между длиной ℓ и периодом T можно записать в виде

ℓ=g/4π²·T². (9)

Прологарифмировав равенство (9), представим исследуемую зависимость в форме линейной функции

ℓnℓ=2·ℓnT+ℓn(g/4π²) (10)

или, вводя обозначения y=ℓnℓ, x=ℓnT, c=ℓn(g/4π²), запишем линейную зависимость (10) в форме

y=2x+c. (11)

Отметим здесь, что описываемый ниже метод наименьших квадратов применяется для исследования экспериментальных зависимостей y вида ƒ=k·z или ƒ=k·b , которые путём логарифмирования могут быть приведены к виду линейных зависимостей. Путём обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов можно определить соответственно величину a или b, а также величину k. Для этого достаточно представить зависимость в виде:

ℓnƒ=a·ℓnz+ℓnk, или ℓnƒ=z·ℓnb+ℓnk. (12)

В настоящей работе величина a известна(a=2 в формуле 11) и обработка результатов методом наименьших квадратов даёт хороший метод проверки вида функциональной зависимости. Если записать первое из уравнений (12) для всех пар совместно измеренных величин ƒί и zί (в работе это ℓί и Tί, где ί- номер опыта), то получится линейная система условных уравнений вида (10)

yί=a·xί+b, (13)

где yί=ℓnƒί , xί=ℓnzί, так что yί и xί можно считать результатом ί-го измерения величин ƒ, z (в работе ℓ, T) и последующего логарифмирования. Система n (где n число опытов) уравнений (13) будет несовместимой, так как результаты измерений ƒ и z неизбежно содержат ошибки. Построение точек (xί, yί) на координатной плоскости показывает,что они не оказываются на одной прямой. В этом случае прибегают к методу графической аппроксимации, то есть к построению такой прямой, для которой отклонения экспериментальных точек (xί, yί) от точек прямой минимальны. Более точным является численное выражение экспериментальной зависимости, основанное на методе наименьших квадратов (МНК). Для реализации МНК необходимо неизвестные параметры a и b, в зависимости (13) подобрать таким образом, чтобы средний квадрат ошибки (отклонения точек от графика) был минимальным:

σ²=1/n∑[yί-(aί·xί-b)]². (14)

Необходимым условием минимума функции σ²(a, b) является равенство нулю её частных производных по переменным a и b

∂σ²/∂a=0; ∂σ²/∂b=0. (15)

Выполнение этих условий приводит к следующей системе уравнений:

∂σ²/∂a=-2∑xί[yί-(a·xί+b)]=0,

(16)

∂σ²/∂b=-2∑[yί-(a·xί+b)]=0.

Система уравнений (16) линейна относительно параметров a и b и, следовательно, разрешима в явном виде. Приведём расчётные формулы для параметров a и b, обеспечивающих минимальность величины σ²:

a=(∑xί·yί-1/n∑xί∑yί)/(∑xί-1/n(∑xί)²), (17)

b=1/n[∑yί-a∑xί], (18)

σ²=1/n[∑yί²-a∑yί-b∑xί·yί]. (19)

В данной работе yί=ℓnℓί, xί=ℓnTί и вся методика применяется для построения функциональной зависимости (13), что позволяет проверить правильность зависимости (11) и, как следствие, формулы (9) для математического маятника.

3. Порядок выполнения работы

1. Измерить длину подвеса маятника (от точки подвеса до центра шарика).

2. Измерить при помощи секундомера время t, за которое маятник совершает N=20…30 полных колебаний.

3. Эксперимент проделать 3-5 раз. Величины ℓ, n, t занести в таблицу. Усреднить t и определить период T=tср/N.

4. Пункт 1-3 проделать 5-7 раз для различных длин нити подвеса (по указанию преподавателя).

5. Построить на миллиметровой бумаге график зависимости ℓnℓ=F(ℓnT) и определить (графической аппроксимацией) угловой коэффициент накала a=∆(ℓnℓ)/∆(ℓnT).

6. Определить угловой коэффициент a и постоянную b методом наименьших квадратов, используя соотношения (17) и (18).

7. Сравнить значения коэффициентов a, полученные в пунктах 5 и 6.

8. Вычислить ускорение свободного падения для используемых в эксперименте длин подвеса по формуле

g=4π²·ℓ/T² (20)

и оценить относительную ошибку

∆g/g=2∆π/π+2∆T/T+∆ℓ/ℓ. (21)

Определить абсолютную ошибку ∆g и результаты записать в стандартном виде.

9. Продолжить прямую на графике ℓnℓ=F(ℓnT), полученную путём графической аппроксимации, до пересечения с ординат (ℓnℓ) и получить оценку величины c в уравнении (10). Сравнить величину c с постоянной b, полученной по методу наименьших квадратов в пункте 6. Выяснить физический смысл этой постоянной и, определив с помощью этих констант значения свободного падения g, сравнить полученные оценки со значениями, полученными в пункте 8 и табличными данными.

Таблица

ℓ м	n	N	t с	T с	g м/с²	ℓnℓ=yί	ℓnT=xί	xίyί	xί²
0,33	1 2 3	20	23,149 23,139 23,177	1,1578	9,7088	-1,1088	0,1465	-0,1624	0,0215
0,37	1 2 3	20	24,479 24,493 24,493	1,2244	9,7336	-0,9943	0,2025	-0,2013	0,0410
0,40	1 2 3	20	25,502 25,513 25,502	1,2753	9,6996	-0,9163	0,2432	-0,2228	0,0591
0,43	1 2 3	20	26,389 26,387 26,382	1,3193	9,7432	-0,8440	0,2771	-0,2339	0,0768
0,47	1 2 3	20	27,546 27,546 27,547	1,3773	9,7715	-0,7550	0,3201	-0,2417	0,1025

π≈3,1416

∑xί=1,1894 ∑yί=-4,6184 ∑xίyί=-1,0618 (∑xί)²=1,4147 ∑xί²=0,3009

a=[-1,0618-1/5·1,1894·(-4,6184)]/[1,1894-1/5·1,4147]≈0,0463

b=1/5·[-4,6184-0,0463·1,1894]≈ -0,9347

c=ℓn[9,7313/(4·3,1416²)]≈ -1,4004

c/b=-1,4004/(-0,9347)≈1,4982

∆g/g=2·0,00005/3,1416+2·0,00005/1,2708+0,005/0,4≈0,0126

∆g=9,7313·0,0126≈0,1226 (м/с²)

g±∆g=9,7313±0,1226 (м/с²)