Занятие 10 Вписанные и описанные около треугольника окружности. Вневписанная окружность.

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника являются касательными к окружности. В этом случае радиусы, проведенные в точки касания являются перпендикулярами к сторонам треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

ТЕОРЕМА Через три точки, не лежащие на прямой, можно провести окружность и притом только одну, иначе говоря: около любого треугольника можно описать окружность. Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

ЗАМЕЧАНИЕ: В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника, в тупоугольном - вне треугольника, в прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.

ТЕОРЕМА Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника, а радиусом - перпендикуляр, опущенный из центра на сторону.

ТЕОРЕМА В прямоугольном треугольнике радиус вписанного круга равен разности полупериметра треугольника и гипотенузы.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается одной из сторон треугольника и продолжения двух других.

Если стороны треугольника равны , то справедливы следующие формулы для нахождения площади треугольника

,где R- радиус описанной окружности.

, где -полупериметр, а r- радиус вписанной окружности

Задания с решениями

1. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение

Так как треугольник прямоугольный, то центром описанной окружности является середина гипотенузы. Гипотенуза АВ=5, следовательно, R=2,5

Ответ 2,5

2. В прямоугольном треугольнике катеты 5 см и 12 см. Найти площадь

вписанного круга.

Решение

По условию АС=5, ВС=12 .По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы АВ .

Площадь треугольника АВС найдем двумя способами.

и , где -полупериметр, а r- радиус вписанной окружности.

Тогда

Получаем уравнение

Площадь вписанного круга найдем по формуле

Ответ

3. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Решение

Обозначим равные катета треугольника .Тогда по теореме Пифагора получим уравнение Откуда

Площадь треугольника АВС найдем двумя способами.

и , где -полупериметр, а r- радиус вписанной окружности.

Тогда

Получаем Откуда получаем

Тогда и

В ответ надо записать , то есть

Ответ 4

4. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение

АС=ВС=СК+КВ=5+3=8

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки DB=BK=3

О- центр вписанной окружности, поэтому он лежит на биссектрисе угла С, но так как треугольник равнобедренный то эта биссектриса является и медианой и высотой. Тогда AD=DB=3 Тогда АВ=6

Тогда периметр

Ответ 22

5. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8:5, считая от вершины, лежащей против основания. Найти основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10. Решение

По условию СК:КВ=8:5, значит СК=8х, КВ=5х.

Тогда СВ= 13х, и по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, DB=КВ=5х, АВ=10х

Из треугольника DCB по теореме Пифагора найдем СD.

Площадь треугольника АВС найдем двумя способами.

и , где p -полупериметр, а r- радиус вписанной окружности.

Тогда

По условию r=10.

Получаем уравнение

Тогда АВ=30

Ответ 30

6.Стороны треугольника равны 25,24 и 7..Найти длину окружности, описанной около треугольника и площадь круга, вписанного в треугольник.

Решение

Найдем площадь треугольника по формуле Герона

Для нахождения площади треугольника справедливы формулы ,где R- радиус описанной окружности.

, где -полупериметр, а r- радиус вписанной окружности

Подставив в эти формулы числовые значения площади и длин сторон получим уравнения и

Тогда

Длина описанной окружности

Площадь вписанного круга

Ответ и

7. Расстояния от вершин треугольника до точек касания вписанной в этот треугольник окружности равны соответственно 2, 6 и 4. Найти длину вписанной окружности и площадь круга, описанного около этого треугольника этого треугольника.

Решение

Касательные проведенные к окружности из одной точки равны между собой, поэтому MC=CL=2, AM=AK=4, BK=BL=6.

Тогда AC=2+4=6, AB=4+6=10, BC=2+6=8.

Так как и , то треугольник АВС прямоугольный.

Гипотенуза АВ=10, следовательно, R=5 и следовательно площадь круга, описанного около треугольника равна .

Площадь треугольника найдем двумя способами.

и , где -полупериметр, а r- радиус вписанной окружности.

Тогда

Получаем уравнение

Тогда длина вписанной окружности равна 4

Ответ 4 и .

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

2. В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.

3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.

4. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 8 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника и площадь вписанного круга.

5. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

6. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. В ответе укажите .

7. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

8. В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту в отношении 17:15.основание равно 60 см. Найти площадь этого круга

9. Около круга, радиус которого равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найти периметр этого треугольника.

10. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник , равен 4.Один из катетов равен 9.Найти второй катет.

11. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник , равен 3.Один из катетов равен 8.Найти гипотенузу.

12. Окружность с радиусом 6 описана около равнобедренного треугольника с углом 120º.Найти основание треугольника.

13. Одна из сторон вписанного в окружность треугольника равна 24см и отстоит от центра окружности на расстоянии 5см. Найти радиус окружности.

14. В треугольнике АВС внешний угол при вершине С равен 90º, а внешний угол при вершине А равен 150º.Меньшая сторона треугольника равна 12,5.Найти длину диаметра окружности, описанной коло этого треугольника.

15. Расстояния от вершин треугольника до точек касания вписанной в этот треугольник окружности равны соответственно 2, 3 и 5. Найти периметр этого треугольника.

16. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а угол при основании 30º.Найти диаметр описанной окружности.

17. Окружность радиусом описана около равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти площадь вписанного в треугольник круга.

18. Сумма меньшего катета и гипотенузы равна 3.Острый угол прямоугольного треугольника равен 30º.Найти радиус описанной окружности.

19. Найдите площадь круга, в который вписан прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 6 см.

20. Стороны треугольника 13 см, 14 см, 15 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.

21. Высота равнобедренного треугольника 4 см, основание 6 см. Найти боковые стороны и радиусы вписанного и описанного кругов.

22. Найти площадь круга, описанного около треугольника со сторонами 25 см, 24 см и 7 см.

23. Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС. Она касается гипотенузы АВ в точке М, причём АМ = 12, ВМ = 8. Найдите площадь треугольника АОВ.

24. Около круга, радиус которого равен 3см, описан равнобедренный треугольник с острым углом в 30º при основании. Найти длины сторон треугольника

25. Стороны треугольника равны 17, 15 и 8.Найти длину окружности, описанной около треугольника и площадь круга, вписанного в треугольник.

26. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12.Найти меньший катет.

27. Стороны треугольника равны 25,24 и 7.Найти длину окружности, описанной около треугольника и площадь круга, вписанного в треугольник.