З анятие 5 Трапеция. Основные понятия и свойства. Средняя линия трапеции.
Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называется средней линией трапеции.
ТЕОРЕМА .Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция равнобедренная
ТЕОРЕМА .Если в трапеции диагонали равны, то трапеция равнобедренная
ТЕОРЕМА. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
ТЕОРЕМА. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, диагонали равны.
ТЕОРЕМА В трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей , равен полуразности оснований
Задания с решениями:
1. Основания трапеции относятся как 2 : 3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.
Р
ешение:
DC : AB=2:3.Тогда
DC = 2x,
a AB =
3x. Средняя линия EF,
.
Тогда получим уравнение
,
откуда 5х=10, х=2.
Тогда DC = 4, AB = 6. Меньшее основание равно 4.
Ответ: 4
2. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.
Р
ешение:
EDCB – параллелограмм. Следовательно, по свойствам параллелограмма CB=DE и DC=EB=4. Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть AD+DE+AE =15 Периметр трапеции равен AD+DC+CB+AB=AD+4+EB+AE+4=15+8=23.
Ответ: 23
3.
Найдите высоту трапеции АВСD,
опущенную из вершины B,
если стороны квадратных клеток равны
.
Высота трапеции –
это отрезок, перпендикулярный
ее основаниям. Проведем отрезок ВК.
Из рисунка видно, что ВК
перпендикуляр к AD
и как диагональ квадратной клетки ВК=
Ответ: 10
4
.
В равнобедренной трапеции диагонали
перпендикулярны. Высота трапеции равна
12. Найдите ее среднюю линию.
Решение:
Построим СМ
АМ
и СК||DВ.
Тогда получим, что BDCK
– параллелограмм. Угол ACK
прямой, так как он равен углу между
диагоналями. Получаем по свойству
параллелограмма, что CK
= DB, но так как
трапеция равнобедренная, то AС=DB=CK,
то есть треугольник АСК –
равнобедренный, прямоугольный, а значит
углы при основании по 45º. Тогда АМ=МК=СМ=12.
АК=24. Но АК=АВ+ВК=АВ+DC.
Средняя линия равна
Ответ: 12
5. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Р
ешение:
Пусть СЕ – высота и АЕ = 10, а ЕВ
= 4. Проведем вторую высоту:
DK
АВ.
Так как трапеция равнобедренная, то
треугольники ADK и
CBE равны по гипотенузе
и катету. Тогда АК = 4, КЕ = 10 – 4 =
6. DCEK – прямоугольник,
и значит DC = KE
= 6. АВ = 10 + 4 = 14. Средняя линия равна
.
Ответ: 10
Задания для самостоятельного решения
Основания трапеции равны 4 и 10. Найти среднюю линию этой трапеции.
В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая сторона равна 10, угол между ними 60º. Найдите меньшее основание.
ННайти углы равнобедренной трапеции, если сумма двух из них равна102º
В В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен
.
Найдите ее периметр.Одно из оснований трапеции в 17 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз оно меньше второго основания?
Периметр равнобедренной трапеции равен 141. Боковая сторона равна меньшему основанию и равна 24. Найти большее основание.
Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9, один из углов равен
.
Найдите высоту трапеции.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.
Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.
В равнобедренной трапеции длина большего основания равна 18 см, длина высоты 5 см, величина тупого угла равна 135º. Найти длину средней линии трапеции.
В равнобедренной трапеции три стороны равны, а диагональ равна одному из оснований Найти углы трапеции.
Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание на отрезки длиной 5 см и 2 см. Найти длину средней линии трапеции
Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.
О
снования
трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок,
соединяющий середины диагоналей
трапеции.
Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен
.
Найдите боковую сторону.
Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен
.
Найдите меньшее основание.
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен
.
Найдите высоту трапеции.
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен
.
Найдите большее основание.
Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.
Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания. Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что она в полтора раза меньше большего основания и на 3 больше меньшего.
Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания – 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его периметр
Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24, боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 41, высота равна 40 и средняя линия равна 45. Найдите основания
Большее основание прямоугольной трапеции вдвое больше её меньшего основания, а боковые стороны равны 4 и 5. Найдите диагонали трапеции.
Найдите высоту трапеции со сторонами 10, 10, 10 и 26