Занятие 3 Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике и их значения от некоторых углов.
Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора.
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Если один из углов треугольника прямой, то это прямоугольный треугольник.
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами; сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника.
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника.
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника.
ТЕОРЕМА. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника.
СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
ТЕОРЕМА. В прямоугольном треугольнике
высота, опущенная из вершины прямого
угла на гипотенузу, есть среднее
пропорциональное между отрезками, на
которые она делит гипотенузу, а каждый
катет есть средняя пропорциональная
величина между гипотенузой и прилежащим
к нему ее отрезком, то есть
,
где
ТЕОРЕМА. Медиана, выходящая из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы.
ТЕОРЕМА. Катет, лежащий против угла в 30°равен половине гипотенузы.
ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник прямоугольный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
ТЕОРЕМА. Если в треугольнике сторона, лежащая против угла в 30° равна половине другой стороны, то треугольник прямоугольный.
Задания с решением.
1. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой, угол А равен 30°. На катете АС взята точка Е такая, что угол ВЕС равен 60°. Найти АС, если ЕС=8.
Решение:
У
гол
А равен 30°, значит угол В равен 60°. Угол
ВЕС равен 60°, значит угол ЕВС равен
300.Тогда угол ЕВА равен 60° -
30° = 300 и значит треугольник
АВЕ равнобедренный и АЕ=ЕВ. Из треугольника
СВЕ следует, что ЕС=
ЕВ,
как катет, лежащий против угла в 300°.
Тогда ЕВ=2ЕС=16. АЕ=ЕВ=16. АС=ЕС+АЕ=16+87=24
Ответ: 24
2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами 10; 24; 26?
Решение:
Большая сторона равна 26. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон. 262=676; 242 +102 =576+100=676. Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, значит треугольник прямоугольный.
3. Катет прямоугольного треугольника больше другого катета на 10см, и меньше гипотенузы на 10 см. Найти гипотенузу.
Решение:
Пусть АС = х, тогда ВС = х - 10, АВ = х+10. По теореме Пифагора АС2 +ВС2 =АВ2.
Получаем уравнение х2 +(х – 10)2 = (х + 10)2
х2 + (х2 _– 20х + 100) = х2 + 20х + 100
х2 – 40х = 0. х = 0 (что не возможно ) или х = 40
Ответ: 40
4. Периметр
равнобедренного
прямоугольного треугольника равен
.
Найти его гипотенузу.
Решение:
Обозначим равные катеты треугольника
за х, а гипотенузу за с. Тогда по
теореме Пифагора получим х2
+ х2 = с2. Откуда
получаем 2х2 = с2; х2
=
с2;
х =
.
Найдем периметр и составим уравнение: + + c =
Умножим обе части на
,
получим: с+с+с
=
3
(
+1)
с(1+1+
)=
3
(
+1).
Тогда с =
Ответ: 3
5. В прямоугольном треугольнике медианы,
проведенные к катетам равны
и
.
Найти длину гипотенузы.
Решение:
Пусть ВС=а, АВ=в.АС=с. Применим теорему Пифагора к треугольникам СВТ и САМ.
Получим систему уравнений:
Тогда
Складывая уравнения почленно, получаем
,
откуда
,
но
и значит
Ответ: 10.
6. Высота прямоугольного треугольника,
проведенная из вершины прямого угла на
гипотенузу, равна
.
Найти гипотенузу, если один из катетов
равен 6.
Решение:
Из треугольника АВН по теореме Пифагора
имеем
;
.
Откуда са = 4. Известно, Что если из вершины прямого угла на гипотенузу опущена высота, то каждый катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и прилежащим к нему ее отрезком. Тогда а2 = c ∙ ca 36 = с · 4, с = 9.
Ответ: 9
Задания для самостоятельного решения
1. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 16см, угол В равен 600. Найти катет ВС.
2. Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:
а) 5, 13, 12
б) 5, 6, 7
3. В прямоугольном треугольнике острый угол, прилежащий к катету, длина которого равна12 см равен 30о. Найти биссектрису другого острого угла.
4. Гипотенуза
равнобедренного прямоугольного
треугольника равна
.
Найти его периметр.
5. Катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на 8см, а другой катет равен 20см. Найти периметр треугольника.
6. Сумма гипотенузы и одного из катетов прямоугольного треугольника равна 9, а их разность равна 4. Найти второй катет треугольника.
7. Гипотенуза прямоугольного треугольника
в три раза больше меньшего катета. Найти
медиану, проведенную к гипотенузе, если
больший катет равен
.
8. Катет равнобедренного прямоугольного
треугольника равен
.Найти
длину биссектрисы прямого угла.
9. Медиана, проведенная к гипотенузе в
прямоугольном треугольнике, равна
и делит прямой угол в отношении 1: 2. Найти
больший катет.
10. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 25, а разность катетов равна 10. Найти больший катет.
11. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 1: 3. Найти высоту треугольника, опущенную на гипотенузу, если гипотенуза равна 40.
12. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2см длиннее другого. Найти длину гипотенузы.
13. В прямоугольном треугольнике медианы,
проведенные к катетам равны 12 и
.
Найти длину третьей медианы.
14. Найдите высоту треугольника ABC,
опущенную на сторону BC, если стороны
квадратных клеток равны.
.
15. В треугольнике ABC АС=ВС высота AH равна 4, угол C равен 30º. Найдите AC.
16. В треугольнике ABC,
угол C равен. 120º. Найдите высоту AH.
17. В треугольнике ABC АС=ВС, угол
C равен 120º,
.
Найдите AC.
18. В треугольнике ABC АС=ВС, угол C равен 120º, АС=2. Найдите AB.
19. В треугольнике ABC АС=ВС=6, высота AH равна 3. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
20. Острые углы прямоугольного треугольника равны 80º и 10º. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
21. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40º. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
22. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24º и 66º. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
23. Острый угол прямоугольного треугольника равен 32º. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
24. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
25. В треугольнике АВС CD – медиана, угол ACB равен 90º , угол B равен 58º. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
26. В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна. . Найдите стороны этого треугольника.
27. Найдите периметр четырехугольника
ABCD, если стороны квадратных клеток
равны
.
28. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны .
29. Найдите периметр четырехугольника
ABCD, если стороны квадратных клеток равны
.
30. Найдите диагональ AC параллелограмма ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.
Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
и их значения от некоторых углов.
Обозначим угол А соответствующей греческой буквой α.
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет а, лежащий напротив угла α, называется противолежащим (по отношению к углу α).
Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла α, называется прилежащим (по отношению к углу α).
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
