Занятие 2

Треугольник. Виды треугольника. Теорема о способе определения вида треугольника.

Неравенство треугольника. Периметр треугольника. Медианы, высоты и биссектрисы

В треугольнике. Сумма углов в треугольнике. Внешний угол треугольника.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Средняя линия треугольника.

ТРЕУГОЛЬНИК – геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин) и трех попарно соединяющих их отрезков (стороны). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположны вершины.

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром.

Треугольники различаются по величине углов: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; один из углов тупой то это тупоугольный треугольник.

По трем сторонам треугольника можно определить его вид.

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный.

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.

Треугольники различаются по длине сторон: разносторонние, равнобедренные, равносторонние.

Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны, эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

Основные свойства треугольников.

ТЕОРЕМА. В любом треугольнике: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Следствие. Все углы в равностороннем треугольнике равны.

ТЕОРЕМА. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то против большего из углов, заключенных между ними лежит и большая сторона и против большей из остальных сторон лежит больший угол.

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180º .

Следствие. Каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.

Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол

ТЕОРЕМА. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

ТЕОРЕМА. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА. В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы).

ТЕОРЕМА. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

ТЕОРЕМА. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.

ТЕОРЕМА. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

ТЕОРЕМА. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Признаки равенства треугольников.

ПРИЗНАК № 1. Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

ПРИЗНАК № 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ПРИЗНАК № 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Свойства равнобедренного треугольника

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине есть одновременно и медиана, и высота.

ТЕОРЕМА. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий основания биссектрис, проведенных к боковым сторонам, параллелен основанию.

ТЕОРЕМА. В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий основания высот, проведенных к боковым сторонам, параллелен основанию.

Признаки равнобедренного треугольника

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике высота является и биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике медиана является и биссектрисой, то такой треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.

ТЕОРЕМА. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник равнобедренный.

Задания с решением

1. В треугольнике ABC угол C равен 45°, AD – биссектриса, угол CAD равен 30°. Найдите угол B.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AD – биссектриса, то углы BAD и CAD равны: BAD = CAD = 30°. С другой стороны, угол BAC = BAD + CAD = 30° + 30° = 60°. Но сумма углов треугольника равна 180°. Поэтому имеем:

A + B + C = 180°;

60° + B + 45° = 180°;

B = 75°.

Ответ: 75º

2. В треугольнике ABC стороны AC = BC, угол C равен 40°. Найдите внешний угол DBC.

Решение:

По условию, треугольник ABC — равнобедренный: AC = BC. Следовательно, углы при основании равны: A = ABC = x. Но сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

A + ABC + C = 180°;

x + x + 40° = 180°;

2x = 140°;

x = 70°.

Итак, угол ABC равен 70°. Углы ABC и DBC — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Имеем:

ABC + DBC = 180°;

70° + DBC = 180°;

DBC = 110°.

Ответ: 110°

3. В треугольнике ABD угол A равен 48°, а угол АCВ равен 56°. BD = BC. Найдите угол D.

Решение:

В треугольнике BCD BD = BC, поэтому он равнобедренный и углы D и BCD равны, то есть D = BCD = x.

ACD = ACB + DCB = 56° + x.

Рассмотрим треугольник ADC. В нем сумма углов равна 180°, поэтому:

 A +  D + ACD = 180°;

48° + x + 56° + x = 180°;

2x + 104° = 180°;

2x = 76°;

x = 38°.

Ответ: 38°

4. Отрезок, соединяющий середины сторон AС и ВC треугольника ABC, на 3 см меньше стороны АВ, на 2 см меньше стороны AC и на 1 см меньше стороны СB. Найдите периметр треугольника ABC.

Решение:

По определению ED – средняя линия. Тогда по свойству средней линии AB = 2ED.

Пусть ED = х, тогда АВ = 2х. По условию: ED = АВ – 3, ED = AС – 2, ED = СB – 1.

Получаем: х = 2х – 3, откуда х = 3, то есть ED = 3. Тогда АС = 5, СВ = 4. Периметр треугольника АВС равен сумме длин сторон АВ, ВС и АС. То есть .

Ответ: 12см

5. В равнобедренном треугольнике сумма двух углов равна 80°.Найти углы треугольника.

Решение:

Так как треугольник равнобедренный, то углы А и В равны.

Возможны два случая: А + В = 128° или А + С = 128°

1) Если А = В = х и А + В = 128°, то 2х = 128°, х = 64°, С = 180° – 128° = 52°

2) Если А =  В = х и А + С = 128°, то так как А + В + С = 180°, получаем тогда , а С = 180° – 2·52°= 76°

Ответ: 64°, 64°, 52° или 52°, 52°, 76°

Задания для самостоятельного решения

1. В треугольнике один из углов равен 30°, а второй угол больше третьего в 2 раза. Найти меньший угол треугольника.

2. В треугольнике сумма двух равных углов больше третьего на 10°. Найти больший угол.

3. В треугольнике сумма двух равных углов больше третьего в 1,5 раза. Найти больший угол.

4. Найти углы треугольника, если они относятся как 2:7:9.

5. Внешний угол треугольника равен 108°, а два угла треугольника, не смежные с ним, относятся как 5:4. Найти все углы треугольника.

6. В треугольнике углы относятся как 2:3:5. Найти внешний угол треугольника, смежный с меньшим из углов.

7. В треугольнике АВС внешний угол при вершине В в три раза больше угла А и на 40°больше угла С. Найти углы треугольника.

8. Найти величину угла треугольника, если сумма величин двух внешних углов, не смежных с данным, равна 237°.

9. Найти углы треугольника, если один из них составляет величины второго угла и третьего угла.

10. Один из двух углов равнобедренного треугольника равен 98°. Найти один из двух других его углов.

11. Один из углов треугольника равен полусумме двух других углов этого треугольника. Стороны этого угла относятся как 2:1. Найти углы треугольника.

12. Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого. Найти меньший угол.

13. В равнобедренном треугольнике сумма двух углов равна 108°. Найти углы треугольника.

14. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС при основании АС образует с основанием угол, величина которого равна 126°. Найти величину угла АВС.

15. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника АВС отсекает равнобедренный треугольник. Найти углы треугольника АВС.

16. В треугольнике АВС угол С равен 90°, угол В равен 82°. AD, BE, CF – биссектрисы треугольника. Точка О – точка пересечения биссектрис. Найти угол AOF.

17. Стороны треугольника равны 8 см, 5 см и 7 см. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

18. Точка P и Q – середины сторон AB и AC треугольника АВС. Найти периметр треугольника ABC, если периметр треугольника APQ равен 21.

19. Найти основание равнобедренного треугольника, если боковая сторона его равна 23, а периметр 71.

20. Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если основание его равна 17, а периметр 93.

21. Найти среднюю линию равнобедренного треугольника, параллельную основанию, если боковая сторона его равна 16, а периметр 57.

22. Периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен 24. Найти периметр исходного треугольника.

23. Длина основания треугольника больше длины средней линии на 6 см. Найти длину основания треугольника.

24. Длины сторон треугольника относятся как 3:4:6. Соединяя середины сторон треугольника получили треугольник с периметром в 5,2 см. Найти длины сторон треугольника.

25. Периметр равнобедренного треугольника равен 7, а сумма его боковых сторон в 2,5 раза больше основания. Найти длину боковой стороны.

26. В равнобедренном треугольнике основание относится к боковой стороне как 4:3. Найти длину основания, если периметр равен 20.

27. В равнобедренном треугольнике сумма двух сторон равна 18. Найти все стороны треугольника, если периметр равен 28.

28. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны 1.

29. Найдите медиану треугольника ABC, проведенную из вершины C, если стороны квадратных клеток равны 1.

30. В треугольнике АВС угол А равен 30º, угол В равен 86º, СD  — биссектриса внешнего угла при вершине С, причем точка D лежит на прямой АВ. На продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка E, что CE=CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

31. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

32. В треугольнике ABC угол A равен 60º., угол B равен 70º, CH — высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.

33. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 128º. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах

34. В треугольнике АВС CH  – высота, AD  – биссектриса, O – точка пересечения прямых CH и AD , угол BAD равен 52º .Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.