МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Материалы для самоподготовки

к ЕГЭ и ГИА

по планиметрии

Часть 1

(треугольники и четырехугольники)

АННОТАЦИЯ

Учебно-методические материалы, представленные в данном пособии, предназначаются для самоподготовки школьников и абитуриентов к ЕГЭ и ГИА по математике.

По каждой теме в пособии содержится практически весь необходимый для решения задач теоретический материал, формулы и методические рекомендации. Представлено подробное решение основных видов задач по теме , а также приведено большое количество заданий для самостоятельного решения.

Надеемся, что данное пособие поможет учащимся быстро систематизировать знания и овладеть методами решения задач по планиметрии

СОДЕРЖАНИЕ:

Занятие 1.

Основные понятия геометрии: прямая, отрезок, луч, угол. Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.

Занятие 2

Треугольник. Виды треугольника, теорема о способе определения вида треугольника(следствие из теоремы косинусов).Неравенство треугольника. Периметр треугольника. Медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике. Сумма углов в треугольнике. Внешний угол треугольника. Равнобедренный треугольник и его свойства Средняя линия треугольника.

Занятие 3.

Прямоугольный треугольник и его свойства. Теорема Пифагора. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

и их значения от некоторых углов

Занятие 4.

.Многоугольники . Сумма углов выпуклого многоугольника Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Основные понятия и свойства.

Занятие 5.

Трапеция. Основные понятия и свойства. Средняя линия трапеции.

Занятие 6.

Нахождение площадей треугольников и четырехугольников.

Теорема Вариньона

Занятие7.

Параллельные прямые. Пропорциональные отрезки. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках .Подобие треугольников. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

Занятие 1

Основные понятия геометрии: прямая, отрезок, луч, угол.

Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые.

Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.

Прямая, отрезок, луч.

В геометрии (и вообще, в математике) существуют понятия, которым невозможно дать определение. Их принимают как начальные понятия. Смысл этих понятий может быть установлен только на основании опыта. Так, понятия точки и прямой линии являются начальными. На основе начальных понятий мы можем дать определения всем остальным понятиям.

Мысленно можно неограниченно продолжить прямую линию в обе стороны. Мы рассматриваем прямую как бесконечную.

Часть прямой линии, ограниченная с одного конца точкой, называется лучом.

Часть прямой, ограниченная двумя точками называется отрезком.

Каждый отрезок имеет длину, выражающуюся положительным числом.

Отрезки называются равными, если при наложении они совпадают.

Равные отрезки имеют равные длины.

Точка, делящая отрезок на два равных отрезка, называется его серединой.

М – середина отрезка СК

Задания с решением.

1. На отрезке АВ длиной 36 см выбрана точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК : ВК = 4 : 5.

Решение:

Из отношения АК : ВК = 4 : 5 делаем вывод, что АК = 4х, а ВК = 5х.Тогда АВ = АК+ВК. Откуда АВ = 4х + 5х, то есть АВ = 9х. Но длина АВ равна 36. Откуда 9х = 36; х = 4.

Тогда АК = 4 · 4 = 16, ВК = 5 · 4 = 20

Ответ: 16 и 20

2. Точка С принадлежит отрезку АВ, причем АС : СВ = 5 : 14.Точка Д принадлежит отрезку СВ, причем СД : ДВ = 3 : 4. Найти отношение АД : ДВ

Решение:

Из отношения АС : СВ = 5 : 14 делаем вывод, что АС = 5х, а СВ = 14х.

Из отношения СД : ДВ = 3 : 4 делаем вывод, что СД = 3у, а ДВ = 4у.

Тогда СВ = СД + ДВ = 4у + 3у = 7у. Получаем 7у = 14х, откуда у = 2х, а СД = 3 · 2х = 6х, ДВ = 4 · 2х = 8х. АД = АС + СД = 5х + 6х = 11х. Тогда АД : ДВ = 11х : 8х = 11 : 8

Ответ 11:8

3. Три различные точки А, В, С лежат на прямой а. Длина отрезка АВ равна 10 см, длина отрезка АС равна 3 см. Найти длину отрезка ВС.

Решение:

Три точки А, В, С могут быть расположены на прямой шестью разными способами. Рассмотрим каждый из них.

1)

АВ = 10 и не может быть частью отрезка АС, так как АС = 3

2)

ВС = АВ – АС = 10 – 3 = 7

3)

ВС=АВ+АС=10+3=13

4)

ВС=ВА-СА=10-3=7

5)

ВС=АВ+ СА=10+3=13

6)

ВА = 10 не может быть частью отрезка АС, так как АС=3.

Ответ 7 или 13

Задания для самостоятельного решения

1. На отрезке АВ выбраны точки M и N . Известно, что АВ=12 см, АМ=8 см, ВN=10см. Найти длину отрезка MN.

2. Дан отрезок АВ=16 см. Точка М – середина отрезка АВ, точка К – середина отрезка МВ. Найти длину отрезка АК

3. Отрезок АВ длина которого 48см разделен точкой С в отношении 1:2, считая от точки А. На отрезке ВС отмечена точка Д так, что ВД= АС.

Найти расстояние между серединами отрезков АС и СД.

4. Три различные точки В, С, Д лежат на прямой. Найти длину отрезка ДВ, если длина отрезка ВС равна 4,2см, а длина отрезка СД равна 5,1 см.

5. Три различные точки А,В,С лежат на прямой. Найти длину отрезка АВ, если он в три раза больше отрезка ВС, а длина отрезка АС равна 24см.

6. На отрезке АД взяты точки В и Е, а на отрезке ВЕ взяли точку С. Длина отрезка АД равна 14 см.. Длина отрезка ВС в три раза меньше длины отрезка АВ. Длины отрезков АВ и СД равны, длина отрезка ЕД составляет длины отрезка ВЕ. Найти длины отрезков ВС и ЕД.

7. Длина прямолинейной дороги от пункта А до пункта Р равна 35 км. Остановки автобуса расположены на этой дороге, начиная от А, в пунктах В,С,Д и Е. Известно, что АС=12км, ВД=11км,СЕ=12км,ВР=26км. Найти АВ, ВС, СД, ВЕ, ЕР.

Углы. Виды углов. Единицы измерения углов.

Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые.

Смежные и вертикальные углы и их свойства. Биссектриса угла.

Угол – это геометрическая фигура  образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Единицы измерения углов: радиан и градус. Градус – это угол равный 1 / 360  полного угла. Один градус делится на  60 минут (обозначение: 1⁰ = 60'); одна минута – соответственно на 60 секунд  (обозначение: 1' = 60'').

Угол в 90⁰ называется прямым; угол, меньший чем  90⁰, называется острым; угол больший чем 90⁰, называется тупым.

Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если они образуют при пересечении прямой угол, Если прямые АВ и МK перпендикулярны, то это обозначается: AB MK.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжениями одна другой. Таким образом, сумма смежных углов равна 180⁰.

Два угла с общей вершиной, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого, называются вертикальными. Вертикальные углы равны.

Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам.

Свойство биссектрисы угла: каждая точка биссектрисы угла находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.

Задания с решением.

1. Найти величины смежных углов, если один из них на 20⁰ больше другого.

Решение:

Обозначим один из углов за х, тогда второй будет равен х+20⁰.Так как углы смежные, то их сумма равна180⁰.

Получаем уравнение х+(х+20⁰)= 180^0. Тогда 2х=160⁰, х=80⁰.

80⁰ +20⁰ =100⁰

Ответ: 80⁰ и 100⁰

2.^.Даны два смежных угла. одного из этих углов и другого составляют в сумме прямой угол. Найти эти смежные углы.

Решение:

Обозначим один из углов за х. Так как углы смежные, то их сумма равна180⁰. Тогда второй угол будет равен 180⁰ – х.

Составим уравнение: х + (180⁰ – х) =90⁰.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей 28.

Получим: 16х +7(180⁰ – х)= 28·90⁰

16х + 7·180⁰ – 7х= 28·90⁰

9х = -7·180⁰ + 28·90⁰ Делим обе части уравнения на 9.

х = –7·20⁰ + 28·10⁰

х = –140⁰ + 280⁰

х = 140^{0 -}первый угол, тогда второй равен 180⁰ – 140⁰ =40^{0 .}

Ответ: 140⁰ и 40⁰

3. Сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых на 280⁰ больше четвертого угла. Найти эти четыре угла.

Решение:

При пересечении двух прямых образовалось две пары вертикальных углов. Вертикальные углы равны между собой.

Пусть х– величина одного из углов. Тогда смежный с ним угол будет равен 180⁰ – х. Имеем четыре угла: х, х, 180⁰ – х, 180⁰ – х.

Составим уравнение: х + х + (180⁰ – х) = (180⁰ – х)+ 280⁰.

Получаем 2х=280⁰, х=140⁰, 180⁰ – 140⁰ =40⁰

Ответ: 140⁰, 40⁰, 140⁰ и 40⁰

4. Угол между прямыми a и b равен 17⁰, а угол между прямыми a и c равен 33⁰

Найти угол между прямыми b и c.

Решение:

В задаче возможны два варианта:

а )

тогда (b,^c)= 17⁰ + 33⁰=50⁰

б )

тогда (b,^c)= 33⁰ - 17⁰ =16⁰

Ответ: 50⁰ или 16⁰

5. Отрезки МР и ОК пересекаются в точке Е. Один из углов при вершине Е равен 110º. Найти угол КЕС, где ЕН – биссектриса угла РЕК.

Решение:

В задаче возможны два варианта:

а )

тогда  КЕС= 70⁰: 2 =35⁰

б )

тогда  КЕС= 110⁰: 2 =55⁰

Ответ: 55⁰ или 35⁰

Задания для самостоятельного решения

1. Найти величины смежных углов, если один из них составляет 0,2 другого угла.

2. Найти величины смежных углов, если одни относятся как 4:5.

3. Даны два смежных угла. Треть одного из этих углов и другого составляют в сумме прямой угол. Найти эти смежные углы.

4. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых равен 101⁰. Найти остальные углы.

5. Угол АВС равен 50⁰, угол ДВС равен 90⁰ . Найти угол АВД.

6. Из точки В проведены 3 луча: BM, BN и BK. Найти угол NBK, если угол MBN равен 84⁰, а угол МBK равен 22⁰.

7. Даны два смежных угла. Биссектриса первого из них образует угол 24⁰ с общей стороной этих углов. Найти величину второго из данных смежных углов.

8. Прямой угол разделен лучом, выходящим из его вершины, на два угла таких, что половина одного из них равна другого. Найти градусные меры этих углов.

9. Прямой угол разделен двумя лучами, выходящим из его вершины, на три угла, не имеющих общих внутренних точек, причем один из них равен разности двух других углов. Найти градусную меру большего из этих углов.

10. Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямой угол. Найти величины этих тупых углов.

11. Три угла образуют в сумме 180⁰. Найти эти углы, если они относятся как 11 : 2 : 2.

12. Три угла образуют в сумме 180⁰. Найти эти углы, если первый из них относится ко второму как 1 : 3, а второй к третьему как 1 : 2.