Для приведения неравенства к равенству необходимо к его левой части прибавить неотрицательную величину . (2)

В результате получаем линейное уравнение, содержащее n+1 переменную:

. (3)

Неотрицательная переменная величина , с помощью которой неравенство преобразуется в уравнение, называется дополнительной переменной.

Теорема. Каждому решению =(₁,₂,…,_n) неравенства (1) соответствует единственное решение =(₁,₂,…,_n, _n+1) уравнения (3) и неравенства (2), и, наоборот, каждому решению уравнения (3) и неравенства (2) соответствует единственное решение неравенства(1).

Доказательство. Пусть - решение неравенства (1), тогда а₁₁+a₂₂+…+a_n_n b.

Перенося левую часть этого неравенства в правую и обозначая выражение в правой части через _n+1, т.е. 0b-( а₁₁+a₂₂+…+a_n_n )= _n+1,

получаем, что решение =(₁,₂,…,_n, _n+1) удовлетворяет уравнению (3) и неравенству (2). Действительно, и

а₁₁+a₂₂+…+a_n_n + _n+1= а₁₁+a₂₂+…+a_n_n +[ b-( а₁₁+a₂₂+…+a_n_n )]=b.

Пусть удовлетворяет уравнению (3) и неравенству (2), т.Е.

а₁₁+a₂₂+…+a_n_n + _n+1=b и .

Тогда, отбрасывая в левой части равенства неотрицательную величину _n+1, получаем неравенство а₁₁+a₂₂+…+a_n_n b.

Отсюда следует, что - решение неравенства (1).



В каждое из m неравенств системы ограничений стандартной задачи ведем новые неотрицательные переменные x_n+1, x_n+2,..., x_n+m, и рассмотрим следующую каноническую задачу: найти максимальное значение целевой функции

L = C₁x₁+C₂x₂+ ... + C_nx_n +0x_n+1 + 0x_n+2 +  +0x_n+m  max

при ограничениях:

x₁  0, x₂  0, ... , x_n, x_n+1, x_n+2, ... , x_n+m  0.

Таким образом, если система ограничений ЗЛП содержит неравенства, то, вводя в каждое из них свою неотрицательную дополнительную переменную, ее можно преобразовать в систему уравнений, т.е. стандартную ЗЛП свести к канонической. При этом в линейную функцию каждая дополнительная переменная входит с коэффициентом, равным нулю.

Еще проще процесс сведения канонической задачи к стандартной - надо лишь каждое уравнение из системы ограничений заменить двумя неравенствами:

a_i1x₁ + a_i2x₂ +  + a_inx_n = b_i  a_i1x₁ + a_i2x₂ +  + a_inx_n  b_i,

a_i1x₁ + a_i2x₂ +  + a_inx_n  b_i.

Если на переменную x_j общей ЗЛП не накладывается условие неотрицательности, то для того, чтобы общую задачу свести к стандартной, нужно положить x_j = u_j - v_j, где u_j, v_j - новые переменные, и наложить условия u_j  0, v_j  0. Это возможно, т.к. любое число может быть записано как разность двух положительных чисел.

Тот случай, когда в задаче требуется минимизировать линейную форму C₁x₁+C₂x₂+ ... + C_nx_n, легко свести к задаче максимизации: следует рассмотреть задачу нахождения максимума функции -С₁x₁-C₂x₂- ... -C_nx_n.

Терминология задач линейного программирования.

Линейная функция L=CX = C₁x₁+C₂x₂+ ... + C_nx_n, подлежащая максимизации (или минимизации), называется целевой функцией.

Вектор X=(x₁, x₂, ... , x_n), удовлетворяющий всем ограничениям задачи линейного программирования, называется допустимым вектором (решением) или планом.

Если система неравенств при условии неотрицательности имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае - несовместной.

Задача линейного программирования, для которой существуют допустимые векторы, называется допустимой задачей.

Максимальное значение d=CX^* целевой функции называется значением задачи.

План X=(x₁, x₂, ... , x_n) называется опорным, если векторы A_i (i=1,2, ... , m), входящие в разложение A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n = B с положительными коэффициентами x_i, являются линейно независимыми.

Так как векторы A_i являются m-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать m.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит m положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.

Оптимальным планом или оптимальным решением ЗЛП называется план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение целевой функции.

Решение ЗЛП связано с понятием выпуклого множества.