Контрольные вопросы

1. Геометрическая интерпретация симплексного метода.

2. Построение первоначального опорного плана.

3. Критерии оптимальности решения задач линейного программирования симплексным методом.

4. Табличный вариант реализации симплексного метода.

Рекомендованная литература: [ 1, 5, 6, 7]

Тема 6. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

Розглянуті питання з теми:

6.1. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов

6.2. Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства

6.3. Первая теорема двойственности

6.4. Вторая теорема двойственности

6.5. Объективно обусловленные оценки и их смысл

6.6. Двойственный симплексный метод

Каждой ЗЛП, называемой исходной можно поставить в соответствие другую задачу, называемую двойственной (сопряженной) по отношению к исходной. Обе эти задачи образуют пару двойственных (сопряженных) задач.

1. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов

Для изготовления n видов продукции P₁, P₂,…,Р_n используются m видов сырья (ресурсов) S₁, S₂,…, S_m, т.е.

S_i (i=1,2,...,m) - виды сырья;

b_i - запасы сырья i-го вида;

P_j (j=1,2,....n) - виды продукции;

a_ij - количество единиц i-го сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции;

x_j - количество единиц j-й продукции, которую необходимо произвести;

C_j - величина прибыли, полученная при реализации единицы j-й продукции.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Все данные можно свести в таблицу (см. табл. 1.).

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц i-го сырья, идущего на изготовление единицы j-й продукции
		P1	P2	...	Pn
S1	b1	a11	a12	...	a1n
S2	b2	a21	a22	...	a2n
...	...	...	...	...
Sm	bm	am1	am2	...	amn
Прибыль от единицы продукции в грн.		C1	C2	...	Cn

Математическая модель задачи: найти максимальное значение линейной функции

L=C₁x₁+C₂x₂++C_nx_n max (1)

при ограничениях:

(2)

x_j  0, (j=1,2,,n), b_i  0 (i=1,2,  ,m). (3)

Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы s1, s2,…, Sm предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y1,y2,…,ym.

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b₁,…,b_m по ценам соответственно y₁,y₂,…,y_m были минимальны, т.е. стоимость всех имеющихся ресурсов должна быть минимальна:

Z=b₁y₁+b₂y₂+…+b_my_m →min.

C другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую можно получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции Р₁ расходуется а₁₁ единиц ресурса S₁, а₂₁ единиц ресурса S₂,…,а_i1 единиц ресурса S_i,…, а_m1 единиц ресурса S_m по цене соответственно y₁,y₂,…,y_i,…,y_m. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции Р₁, должны быть не менее ее цены с₁, т.е.

а₁₁y₁+а₂₁y₂+…+а_m1y_mс₁.