Контрольные вопросы

1. Базис n-мерного векторного пространства.

2. Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

3. Общее и базисное решение.

Рекомендованная литература: [ 5, 8, 12]

Тема 3. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Розглянуті питання з теми:

3.1. Различные формы задач линейного программирования и их эквивалентность

3.2. Выпуклые множества

3.3. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

3.4. Свойства решений задачи линейного программирования

3.1. Различные формы задач линейного программирования и их эквивалентность

Все экстремальные математические задачи, описанные ранее, и задачи, им эквивалентные, укладываются в общий класс задач линейного программирования (ЗЛП). Однако запись линейной формы и, главным образом, ограничений в разных задачах заметно различается. Так, в каждой из этих задач требуется максимизировать или минимизировать линейную функцию от нескольких переменных. При этом ограничения, наложенные на совокупность переменных, являются либо линейными неравенствами, либо линейными уравнениями. Ограничения типа неравенств также носят разный смысл: в одном случае линейная функция от переменных должна быть больше соответствующей константы, в другом меньше. Однако очевидно, что всегда можно добиться, чтобы все знаки неравенств были направлены в одну сторону (умножив при необходимости обе части неравенства на (-1)). Ряд практических задач сводится также к смешанным условиям: часть ограничений - линейные уравнения, другие – линейные неравенства. Не во всех задачах требуется неотрицательность всех переменных.

Такое разнообразие форм записи условий требует разработки специальных методов для решения отдельных классов задач и затрудняет исследование общих особенностей линейного программирования и создание общих методов и вычислительных алгоритмов. Поэтому естественно сформулировать общую задачу линейного программирования и рассмотреть способ сведения любой задачи линейного программирования к более простой и удобной для исследования форме.

В общей задачи линейного программирования часть ограничений носит характер неравенств, а часть является уравнениями. Кроме того, не на все переменные наложено условие неотрицательности.

Итак, требуется найти максимальное (минимальное) значение целевой функции

L =  max (min)

при ограничениях

(1)

x₁  0, x₂  0, ... , x_r  0. Здесь kmn.

Если все переменные неотрицательны x_j  0 (j=1,2,…,n), система ограничений (1) состоит лишь из неравенств, т.е. k=m – такая ЗЛП называется стандартная (симметричная) задача линейного программирования: необходимо максимизировать (минимизировать) линейную функцию от нескольких переменных L=  max (min) при ограничениях: , i=1, 2, ... ,m.

x₁  0, x₂  0, ... , x_n  0,

Векторная форма записи: L=CX max (min) при ограничениях A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n  B, X 0,

где С=(C₁,C₂,...,C_n) - вектор коэффициентов целевой функции, Х=( x₁,x₂,…,x_n),

СХ – скалярное произведение,

А₁= , А₂= ,…,А_n= , В= - векторы, состоящие соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Матричная форма записи.

Элементы таблицы a_ij образуют матрицу А размером m х n; b_i выразим вектором ограничений B=(b₁,b₂,...,b_m), x_i - вектором X=(x₁,x₂,...,x_n), коэффициенты целевой функции - вектор C=(C₁,C₂,...,C_n).

В соответствии с правилом умножения матрицы на вектор каждое из m выражений, стоящих в левой части неравенств, представляет собой координату вектора AX. Систему неравенств можно переписать следующим образом: AX  B.

Выражение C₁x₁+C₂x₂++C_nx_n запишем в виде скалярного произведения двух векторов CX.

Используя эти обозначения, ЗЛП можно кратко выразить в следующей форме:

найти L=C X max (min) при ограничениях AX  B, X  0 .

Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа прикладных моделей, сводящихся наиболее естественным образом к этому классу ЗЛП.

Если система ограничений (1) состоит лишь из равенств, т.е. k=0 – такая ЗЛП называется каноническая (основная) задача линейного программирования:

найти максимум (минимум) линейной функции от нескольких переменных:

L=  max (min) при ограничениях

, i=1, 2, ... ,m, x₁  0, x₂  0, ... , x_n  0,

В матричной записи: L=CX max (min) при ограничениях AX = B, X  0 .

В векторной записи: L=CX max (min) при ограничениях A₁x₁+A₂x₂+…+A_nx_n= B, X 0.

Все три перечисленные формы задач эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных. Поэтому, если имеется способ решения одной из этих задач (например, канонической), то тем самым мы умеем решать любую из трех ЗЛП.

Покажем, например, как привести стандартную задачу к канонической форме. Рассмотрим линейное неравенство с n неизвестными

. (1)