2.3. Базис n-мерного векторного пространства

Базисом n-мерного векторного пространства называется любая совокупность n линейно независимых векторов этого же пространства.

Таким образом, в двумерном пространстве за базис могут быть взя­ты любых два неколлинеарных вектора, в трехмерном пространстве - три некомпланарных вектора, в пространстве измерений n > 3 — система из n линейно независимых векторов.

Теорема. Любой вектор А n-мерного векторного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса E₁, E₂,...,E_n, при­том единственным образом

А = a₁E₁ + a₂E₂ + ... + a_nE_n.

( без доказательства)

Числа a_1, a_2, ..., a_n называются коэффициентами разложения век­тора А по векторам базиса или координатами вектора А в базисе E₁, E₂,...,E_n.

2.4. Система единичных векторов n-мерного векторного пространства

Введем по­нятие системы единичных векторов n-мерного векторного пространства. Если положить, что j-я компонента вектора E_j равна единице, а остальные равны нулю, то при j = 1, 2,..., n получим си­стему

(*)

которая называется системой единичных векторов n-мерного векторного пространства.

Система единичных векторов (*) образует один из базисов n-мерного векторного пространства; компоненты же любого n-мерного вектора можно считать координатами этого вектора в еди­ничном базисе.

Докажем это утверждение. Покажем, что система единичных векторов линейно независима. Составим соотношение

k₁E₁+k₂E₂+...+k_nE_n =0.

Подставляя вместо E₁, E₂,...,E_n их выражения, умноженные соот­ветственно на k_j, и складывая, получим

(k₁,k₂,…,k_n) = (0; 0; ...; 0),

откуда k₁=0, k₂=0,…,k_n =0. Таким образом, система векторов (*) линейно независима.

С другой стороны, всякий n-мерный вектор А = (a₁, a₂, ...,a_n) пред­ставляет собой линейную комбинацию векторов этой системы:

A= a₁E₁+a₂E₂+...+a_nE_n = (a₁, a₂, ...,a_n)

Пример, вектор А = (3;-2; 4; -5) можно записать как линейную комбинацию единичных векторов E₁= (1; 0; 0; 0); E₂ = (0; 1;0;0); Ез = (0; 0; 1; 0); Е₄ =(0; 0; 0; 1) с коэффициен­тами, которые равны компонентам вектора А:

А = ЗЕ₁ - 2Е₂ + 4Ез - 5Е₄ = (3; - 2; 4; - 5).

Вычислим ранг матрицы, используя теоремы 1.3. Назовем элементар­ными следующие преобразования матрицы:

• перемену мест двух строк или столбцов;

• умножение строки или столбца на произвольное, отлич­ное от нуля число;

- прибавление (вычитание) к одной строке (столбцу) кратного другой строки (столбца).

Эти преобразования не меняют ранг матрицы. Матрицы, получаемые в процессе преобразования, эквива­лентны исходной. В результате элементарных преобразований векторы-строки (столбцы) матрицы можно преобразовать в единичные или в ну­левые векторы. Число единичных векторов в преобразованной матрице определяет ее ранг.

2.5. Решение системы линейных уравнений методом Жордана – Гаусса

Рассмотрим систему из т линейных уравнений с n неизвестными:

Обозначим через А = (a_ij) матрицу системы, через X =(x_j) - матрицу-столбец, состоящую из неизвестных, через В = (b_i) - матрицу-столбец, состоящую из свободных членов; тогда систему можно записать в виде матричного уравнения

AX = B.

При решении системы линейных уравнений воспользуемся численным методом, который поз­воляет с помощью элементарных преобразований за конечное число шагов найти решение (если оно существует) и при необходимости по­лучить обратную матрицу. Этот метод называется методом полного исключения неизвестных или методом Жордана — Гаусса.

Неизвестное х_к называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение содержит х_к с коэффициентом 1, а в остальных уравнениях х_к не содержится.

Суть ме­тода состоит в том, что, рассмотрев первое уравнение, а в нем неизве­стное, например, х₁ с коэффициентом а₁₁, отличным от нуля (он в дальнейшем называется разрешающим элементом), и, разделив первое уравнение на этот коэф­фициент, с помощью первого уравнения исключают это неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для этого преобразуют систему, умножая обе части 1-го уравнения на а₂₁ и вычитая из соответствующих частей 2-го уравнения. Затем обе части 1-го уравнения умножают на а₃₁ и вычитают из соответствующих частей 3-го уравнения и т.д. Если коэффициент при х₁ в первом уравнении равен нулю, то можно выбрать любое уравнение, в котором коэффициент при х₁ отличен от нуля, и с помощью этого уравнения исключить х₁ из всех остальных уравнений.

Выбрав во втором уравнении не­известное с коэффициентом, отличным от нуля, и разделив на него вто­рое уравнение, с помощью второго уравнения исключают другое не­известное из всех уравнений, кроме второго, и т. д., т. е. с помощью одного уравнения производят полное исключение одного неизвестного. Процесс продолжают до тех пор, пока не будут использованы все урав­нения. При этом возможны следующие случаи.

1. В процессе исключений левая часть i-го уравнения системы обращается в нуль, а правая часть равна некоторому числу, отлич­ному от нуля, т. е. имеет место равенство 0=b_i0. Это означает, что система несовместна, т.е. не имеет решений.

2. Левая и правая части i-го уравнения обращаются в нуль. Это означает, что i-е уравнение является линейной комбинацией остальных, ему удовлетворяет любое найденное решение системы, поэтому оно может быть отброшено.

3. После того, как все уравнения использованы для исключения неизвестных, либо будет получено решение, либо доказано, что система несовместна.

Рассмотрим применение метода Жордана — Гаусса на примере системы линейных уравнений, в которой количество уравнений меньше количества неизвестных.

Пример 1. Решить систему уравнений

или найти коэффициенты разложения вектора В по векторам A₁ , А₂ , А_{3 ,} А₄:

A₁x₁ +А₂x₂ + А₃x₃ + А₄x₄ =B.

Решение. Запишем коэффициенты при неизвестных и свободные члены в таблицу, к элементам которой и применим метод полных исключений.

В первом уравнении коэффициент при x₁ отличен от нуля: a₁₁=50; выбираем его за разрешающий элемент. Разделим первое уравнение на 5. Исключим x₁ из всех уравнений, кроме первого.

А1	А2	А3	А4	А0
5 2 3	2 -2 4	3 5 2	3 2 2	1 4 -2
1 0 0	2/5 -14/5 14/5	3/5 19/5 1/5	3/5 4/5 1/5	1/5 18/5 -13/5
1 0 0	0 1 0	8/7 -19/14 4	5/7 -2/7 1	5/7 -9/7 1
1 0 0	0 1 0	0 0 1	3/7 3/56 1/4	3/7 -53/56 1/4

Выделены разрешающие элементы уравнений, с помощью которых производим полные исключения неизвестных. Окончательно система принимает вид

Откуда находим общее решение: х₁ = 3/7-3/7x₄,

x₂ =- 53/56-З/5бх₄,

x₃= 1/4-1/4x₄.

Общее решение системы – это равносильная разрешенная система, в которой разрешенные неизвестные выражены через свободные.

Векторы A₁ , А₂ , А₃ линейно независимые и составляют базис в трех­мерном пространстве; соответствующие им неизвестные x₁, х₂, х₃ на­зываются базисными, а х₄, соответствующее вектору A₄ - свободным (ему можно придавать произвольные значения).

Минор, состоящий из коэффициентов при базисных неизвестных в линейно независимых уравнениях, называется базисным минором.

Любые m переменных системы линейных уравнений с n переменными (m<n) называются базисными, если определитель (базисный минор) матрицы коэффициентов при них отличен от нуля, остальные n-m переменных называются свободными (небазисными).

Базисными могут быть разные группы из n переменных. Максимально возможное число групп равно числу сочетаний .

Если в общем решении системы свободные неизвестные приравнять нулю, то такое решение называется базисным.

Таким образом, базис­ное решение рассматриваемой системы таково: х₁ = 3/7, х₂= - 53/56, x₃ = 1/4, x₄ = 0.

Для базисного решения получаем разложение вектора B по век­торам базиса A₁ , А₂ , А₃

3/7A₁ - 53/56А₂ + 1/4А₃ = B.

Базисное решение, содержащее точно т отличных от нуля неизвест­ных, где т — количество линейно независимых уравнений системы, называется невырожденным.

Если хотя бы одно из базисных неизвестных равно нулю, то базисное решение называется вырожденным.

Решение X=(x₁,x₂,…,x_n) называется допустимым, если оно содержит лишь неотрицательные компоненты, т.е. x_j0 для любых j=1,2,…,n. В противном случае решение называется недопустимым.

В ЗЛП особый интерес представляют допустимые базисные решения, называемые опорными планами.

На методе Жордана-Гаусса основаны все известные варианты симплексных методов и, в частности, симплексный метод, который рассматривается ниже.